Encontre o limite. Use a regra de l’Hôspital quando for apropriado.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{1-\cos x},
que é um caso de limite de quociente onde, ao substituir x=0 diretamente, obtemos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Vamos usar a regra de l’H^opital, que diz que se \lim f(x)=0 e \lim g(x)=0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
desde que este último limite exista.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta:
\frac{x^2}{1-\cos x}\Big|_{x=0}=\frac{0^2}{1-\cos0}=\frac{0}{0}.
Como é \tfrac{0}{0}, aplicamos l’H^opital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador separadamente:
numerador f(x)=x^2 f'(x)=2x,
denominador g(x)=1-\cos x g'(x)=\sin x.
Então
\lim_{x\to0}\frac{x^2}{1-\cos x} =\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin x}.

Passo 4

Ainda por substituição direta em \frac{2x}{\sin x} obtemos \tfrac{0}{0}. Logo, aplicamos l’H^opital de novo.

Passo 5

Derivando de novo, numerador 2x vira 2 e denominador \sin x vira \cos x. Assim
\lim_{x\to0}\frac{2x}{\sin x} =\lim_{x\to0}\frac{2}{\cos x} =\frac{2}{1} =2.

Resposta

2

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