Calcule a integral
\int_{0}^{\pi / 4} \operatorname{sec} \theta \tan \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}\theta\,\tan\theta\,d\theta.
O conteúdo principal aqui é integração de funções trigonométricas, em especial reconhecer uma derivada conhecida.

Passo 2

Observamos que
\frac{d}{d\theta}\bigl(\operatorname{sec}\theta\bigr) =\operatorname{sec}\theta\tan\theta.
Logo, uma antiderivada (primitiva) de \operatorname{sec}\theta\tan\theta é \operatorname{sec}\theta.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{\pi/4}\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta =\bigl[\operatorname{sec}\theta\bigr]_{0}^{\pi/4}.

Passo 4

Basta avaliar em \theta=\pi/4 e em \theta=0:
\operatorname{sec}\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr)=\frac{1}{\cos(\pi/4)}=\sqrt{2}, \quad \operatorname{sec}(0)=1.
Portanto
\bigl[\operatorname{sec}\theta\bigr]_{0}^{\pi/4} =\sqrt{2}-1.

Resposta

\sqrt{2}-1

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