Determine o momento de inércia de um cilindro sólido uniforme de massa m, raio R e altura h em relação ao eixo paralelo ao comprimento passando pelo meio do cilindro.
Resposta. I=\iiint_{R}\left(x^{2}+y^{2}\right) \rho d V=\frac{m R^{2}}{2}.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de um cilindro sólido uniforme de massa m, raio R e altura h em relação ao eixo que coincide com seu comprimento e passa pelo centro. O conteúdo envolve definição de momento de inércia e uso de coordenadas cilíndricas para avaliar um integral triplo.

Passo 2

Como o cilindro é uniforme, a densidade volumétrica é constante e dada por
\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^{2}h}\,,
onde V=\pi R^{2}h é o volume do cilindro.

Passo 3

Pela definição do momento de inércia,
I = \iiint_{V}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\rho\,dV.
Em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), tem-se x^{2}+y^{2}=r^{2} e dV=r\,dr\,d\theta\,dz. Usando limites r\in[0,R], \theta\in[0,2\pi], z\in[-h/2,h/2],
I = \rho \int_{-h/2}^{h/2}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} r^{2}\,(r\,dr\,d\theta\,dz) =\rho\int_{-h/2}^{h/2}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{R} r^{3}\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Calculando cada parte do integral:
\int_{0}^{R}r^{3}\,dr = \frac{R^{4}}{4}, \quad \int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \quad \int_{-h/2}^{h/2}dz = h.
Logo,
I = \rho \,\frac{R^{4}}{4}\,(2\pi)\,h = \rho\,\frac{\pi R^{4}h}{2} = \frac{m}{\pi R^{2}h}\,\frac{\pi R^{4}h}{2} = \frac{mR^{2}}{2}.

Resposta

I = \frac{1}{2}\,m\,R^{2}.

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