Use o Teorema de Stokes para calcular
.
,
é a parte do hemisfério
que está dentro do cilindro
, orientada na direção do
positivo
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
e
é a parte do hemisfério
dentro do cilindro
, orientada no sentido do
positivo. Pelo Teorema de Stokes, convertemos esse fluxo na integral de linha
sendo
. Precisamos então:
- Identificar e orientar
via a regra da mão direita; - Parametrizar
; - Calcular
.
Passo 2
A curva
é a interseção do hemisfério com o cilindro, dada por
Logo
é um círculo de raio
no plano vertical
. Como a normal de
tem componente
, ao olhar na direção
a orientação de
é anti-horária (CCW) no plano
.
Passo 3
Parametrizamos
por
Então
Em
temos
,
, logo
Passo 4
Calculamos
Isso dá
Portanto
Note que
e
logo