Use o Teorema de Stokes para calcular ∬_{S} \operatorname{rot} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S}.
\mathbf{F}(x, y, z)=\left(x+\operatorname{tg}^{-1} y z\right) \mathbf{i}+y^{2} z \mathbf{j}+z \mathbf{k},
S é a parte do hemisfério x=\sqrt{9-y^{2}-z^{2}} que está dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=4, orientada na direção do x positivo

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}
onde
\mathbf{F}(x,y,z)=\bigl(x+\arctan(yz)\bigr)\,\mathbf{i}+y^{2}z\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k},
e S é a parte do hemisfério x=\sqrt{9-y^{2}-z^{2}} dentro do cilindro y^{2}+z^{2}=4, orientada no sentido do x positivo. Pelo Teorema de Stokes, convertemos esse fluxo na integral de linha
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r},
sendo C=\partial S. Precisamos então:
  1. Identificar e orientar C via a regra da mão direita;
  2. Parametrizar C;
  3. Calcular \oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}.

Passo 2

A curva C é a interseção do hemisfério com o cilindro, dada por
y^{2}+z^{2}=4, \quad x=\sqrt{9-y^{2}-z^{2}}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}.
Logo C é um círculo de raio 2 no plano vertical x=\sqrt{5}. Como a normal de S tem componente +x, ao olhar na direção +x a orientação de C é anti-horária (CCW) no plano (y,z).

Passo 3

Parametrizamos C por
\mathbf{r}(t)=\bigl(\sqrt{5},\,2\cos t,\,2\sin t\bigr), \quad 0\le t\le2\pi.
Então
d\mathbf{r}=(0,\,-2\sin t,\,2\cos t)\,dt.
Em C temos y=2\cos t, z=2\sin t, logo
yz=4\sin t\cos t=2\sin2t,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\Bigl(\sqrt{5}+\arctan\bigl(2\sin2t\bigr),\;8\cos^{2}t\,\sin t,\;2\sin t\Bigr).

Passo 4

Calculamos
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =F_{y}\,dy+F_{z}\,dz =8\cos^{2}t\sin t\;(-2\sin t\,dt)+2\sin t\;(2\cos t\,dt).
Isso dá
\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\bigl(-16\cos^{2}t\sin^{2}t+4\sin t\cos t\bigr)\,dt.
Portanto
\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-16\cos^{2}t\sin^{2}t+4\sin t\cos t\bigr)\,dt.
Note que
\int_{0}^{2\pi}4\sin t\cos t\,dt=0
e
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}t\sin^{2}t\,dt =\int_{0}^{2\pi}\frac{\sin^{2}2t}{4}\,dt =\frac{1}{4}\,\pi,
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\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} =-16\cdot\frac{\pi}{4} =-4\pi.

Resposta

\iint_{S}\operatorname{rot}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=-4\pi.

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