Calcule a integral:
\int \operatorname{sec} ^{4}\left(\frac{t}{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função \operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Informações dadas: integrando é \operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{t}{2}\right) e a variável de integração é t.
Objetivo: encontrar uma função F(t) tal que F'(t)=\operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{t}{2}\right), isto é, calcular
\int \operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{t}{2}\right)\,dt.

Passo 2

Vamos simplificar a presença do \frac{t}{2} usando uma substituição simples. Seja
u=\frac{t}{2}.
Então a diferencial é
du=\frac{1}{2}\,dt\quad\Longrightarrow\quad dt=2\,du.
Substituindo na integral obtemos
\int \operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{t}{2}\right)\,dt = 2\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du.
Agora reduzimos o problema a calcular \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du.

Passo 3

Para integrar \int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du note que podemos escrever \operatorname{sec}^{4}(u)=\operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\operatorname{sec}^{2}(u). Uma ideia útil é lembrar que a derivada de \tan u é \operatorname{sec}^{2}u. Portanto, se fizermos a substituição
w=\tan u,
temos
dw=\operatorname{sec}^{2}u\,du.
Reescrevendo a integral usando essa observação:
\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\cdot\operatorname{sec}^{2}(u)\,du = \int \operatorname{sec}^{2}(u)\big(1+\tan^{2}u\big)\,du,
pois usamos a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}u=1+\tan^{2}u. Agora aplicamos w=\tan u e dw=\operatorname{sec}^{2}u\,du.

Passo 4

Com w=\tan u e dw=\operatorname{sec}^{2}u\,du a integral fica
\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \int (1+w^{2})\,dw.
Essa é uma integral polinomial simples:
\int (1+w^{2})\,dw = w + \frac{w^{3}}{3} + C.
Voltando para u (isto é, w=\tan u) temos
\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = \tan u + \frac{\tan^{3}u}{3} + C.

Passo 5

Lembrando que houve o fator 2 da substituição dt=2\,du do Passo 2, multiplicamos o resultado por 2:
2\int \operatorname{sec}^{4}(u)\,du = 2\left(\tan u + \frac{\tan^{3}u}{3}\right) + C = 2\tan u + \frac{2}{3}\tan^{3}u + C.
Finalmente voltamos à variável original t com u=\dfrac{t}{2}. Assim a primitiva procurada é
F(t)=2\tan\!\left(\frac{t}{2}\right)+\frac{2}{3}\tan^{3}\!\left(\frac{t}{2}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (para me deixar mais confiante e para você poder usar na prova): derivando F(t) pelo teorema da cadeia:
\frac{d}{dt}\! \left[2\tan\!\left(\frac{t}{2}\right)\right]=2\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right),
\frac{d}{dt}\!\left[\frac{2}{3}\tan^{3}\!\left(\frac{t}{2}\right)\right]=\frac{2}{3}\cdot 3\tan^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\tan^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right).
Somando as duas derivadas:
\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)+\tan^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\big(1+\tan^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)\big)\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{t}{2}\right)=\operatorname{sec}^{4}\!\left(\frac{t}{2}\right),
o que confirma que F'(t) é o integrando original.

Resposta

2\tan\!\left(\frac{t}{2}\right)+\frac{2}{3}\tan^{3}\!\left(\frac{t}{2}\right)+C

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