Calcule a integral:
Passo 1
O enunciado pede a primitiva (integral indefinida) da função
.
Informações dadas: integrando é e a variável de integração é
.
Objetivo: encontrar uma função tal que
, isto é, calcular
Informações dadas: integrando é
Objetivo: encontrar uma função
Passo 2
Vamos simplificar a presença do
usando uma substituição simples. Seja
Então a diferencial é
Substituindo na integral obtemos
Agora reduzimos o problema a calcular
.
Passo 3
Para integrar
note que podemos escrever
. Uma ideia útil é lembrar que a derivada de
é
. Portanto, se fizermos a substituição
temos
Reescrevendo a integral usando essa observação:
pois usamos a identidade trigonométrica
. Agora aplicamos
e
.
Passo 4
Com
e
a integral fica
Essa é uma integral polinomial simples:
Voltando para
(isto é,
) temos
Passo 5
Lembrando que houve o fator
da substituição
do Passo 2, multiplicamos o resultado por
:
Finalmente voltamos à variável original
com
. Assim a primitiva procurada é
Passo 6
Verificação rápida (para me deixar mais confiante e para você poder usar na prova): derivando
pelo teorema da cadeia:
Somando as duas derivadas:
o que confirma que
é o integrando original.