Exercicio 1.5
Usando a definição, calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
.
Usando a definição, calcular a derivada direcional da função
Passo 1
O enunciado pede: "Usando a definição, calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
".\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde devemos avaliar é
. - O vetor direção fornecido é
. - O enunciado exige que usemos a definição (isto é, a definição por limite) da derivada direcional.
Passo 2
Definição que vamos usar: seja
um ponto e
um vetor unitário (norma
). A derivada direcional de
em
na direção
é
Observação importante: devemos usar um vetor unitário
. Então primeiro transformamos o vetor dado
em um vetor unitário
dividindo por sua norma. Calculemos a norma de
:
Logo o vetor unitário é
Passo 3
Calcule
no ponto
para usar na diferença do numerador:
Passo 4
Escrevemos
, ou seja as coordenadas de
:
Agora calculamos
:
Vamos expandir
e
passo a passo:
Somando:
Simplificando cada parcela:
Portanto
Multiplicando por
:
Passo 5
Agora montamos a razão do limite da definição:
Dividindo por
:
Tomando o limite quando
:
Passo 6
Comentário didático rápido (checagem): existe uma forma equivalente e mais curta usando o gradiente. A fórmula é
. Aqui
, então
e o produto escalar com
é
o que confirma o resultado obtido pela definição. Força aí — fez certinho seguindo a definição!