Exercicio 1.5
Usando a definição, calcular a derivada direcional da função f(x, y)=4 x^{2}+4 y^{2} no ponto (1,2) na direção do vetor (-1,2).

Passo 1

O enunciado pede: "Usando a definição, calcular a derivada direcional da função f(x,y)=4x^{2}+4y^{2} no ponto (1,2) na direção do vetor (-1,2)".\n
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=4x^{2}+4y^{2}.
  • O ponto onde devemos avaliar é (1,2).
  • O vetor direção fornecido é v=(-1,2).
  • O enunciado exige que usemos a definição (isto é, a definição por limite) da derivada direcional.

Passo 2

Definição que vamos usar: seja a=(x_{0},y_{0}) um ponto e u um vetor unitário (norma 1). A derivada direcional de f em a na direção u é
D_{u}f(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h\,u)-f(a)}{h}.
Observação importante: devemos usar um vetor unitário u. Então primeiro transformamos o vetor dado v=(-1,2) em um vetor unitário u dividindo por sua norma. Calculemos a norma de v:
\|v\|=\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}.
Logo o vetor unitário é
u=\frac{v}{\|v\|=\sqrt{5}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\right).

Passo 3

Calcule f no ponto (1,2) para usar na diferença do numerador:
f(1,2)=4\cdot 1^{2}+4\cdot 2^{2}=4(1+4)=4\cdot 5=20.

Passo 4

Escrevemos a+(h\,u), ou seja as coordenadas de (1,2)+h\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right):
x(h)=1-\frac{h}{\sqrt{5}},\qquad y(h)=2+\frac{2h}{\sqrt{5}}.
Agora calculamos f\big(x(h),y(h)\big):
f\big(x(h),y(h)\big)=4\big(x(h)^{2}+y(h)^{2}\big).
Vamos expandir x(h)^{2} e y(h)^{2} passo a passo:
x(h)^{2}=\left(1-\frac{h}{\sqrt{5}}\right)^{2}=1-2\frac{h}{\sqrt{5}}+\frac{h^{2}}{5},
y(h)^{2}=\left(2+\frac{2h}{\sqrt{5}}\right)^{2}=4+2\cdot 2\cdot\frac{h}{\sqrt{5}}+\frac{4h^{2}}{5}=4+\frac{8h}{\sqrt{5}}+\frac{4h^{2}}{5}.
Somando:
x(h)^{2}+y(h)^{2}=\big(1+4\big)+\left(-2\frac{h}{\sqrt{5}}+\frac{8h}{\sqrt{5}}\right)+\left(\frac{h^{2}}{5}+\frac{4h^{2}}{5}\right).
Simplificando cada parcela:
1+4=5,\qquad -2\frac{h}{\sqrt{5}}+\frac{8h}{\sqrt{5}}=6\frac{h}{\sqrt{5}},\qquad \frac{h^{2}}{5}+\frac{4h^{2}}{5}=h^{2}.
Portanto
x(h)^{2}+y(h)^{2}=5+6\frac{h}{\sqrt{5}}+h^{2}.
Multiplicando por 4:
f\big(x(h),y(h)\big)=4\big(5+6\frac{h}{\sqrt{5}}+h^{2}\big)=20+\frac{24h}{\sqrt{5}}+4h^{2}.

Passo 5

Agora montamos a razão do limite da definição:
\frac{f(a+h\,u)-f(a)}{h}=\frac{\left(20+\dfrac{24h}{\sqrt{5}}+4h^{2}\right)-20}{h} =\frac{\dfrac{24h}{\sqrt{5}}+4h^{2}}{h}.
Dividindo por h:
\frac{f(a+h\,u)-f(a)}{h}=\frac{24}{\sqrt{5}}+4h.
Tomando o limite quando h\to 0:
D_{u}f(1,2)=\lim_{h\to 0}\left(\frac{24}{\sqrt{5}}+4h\right)=\frac{24}{\sqrt{5}}.

Passo 6

Comentário didático rápido (checagem): existe uma forma equivalente e mais curta usando o gradiente. A fórmula é D_{u}f(a)=\nabla f(a)\cdot u. Aqui \nabla f(x,y)=(8x,8y), então \nabla f(1,2)=(8,16) e o produto escalar com u=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{5}},\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) é
(8,16)\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=\frac{-8+32}{\sqrt{5}}=\frac{24}{\sqrt{5}},
o que confirma o resultado obtido pela definição. Força aí — fez certinho seguindo a definição!

Resposta

\dfrac{24}{\sqrt{5}}

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