Calcule a integral.
\int \operatorname{tg}^{2} 4 x d x

Passo 1

O enunciado pede calcular \int \tan^{2}(4x)\,dx. Essa integral envolve integração de funções trigonométricas, em particular o uso da identidade \tan^{2}\theta + 1 = \operatorname{sec}^{2}\theta e aplicação da regra da cadeia no termo \operatorname{sec}^{2}(4x).

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
\tan^{2}(4x) = \operatorname{sec}^{2}(4x) - 1,
portanto
\int \tan^{2}(4x)\,dx = \int\bigl(\operatorname{sec}^{2}(4x) - 1\bigr)\,dx.

Passo 3

Integramos termo a termo. Primeiro,
\int \operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx
reconhece-se que \frac{d}{dx}\tan(4x) = 4\,\operatorname{sec}^{2}(4x), logo
\int \operatorname{sec}^{2}(4x)\,dx = \frac{1}{4}\,\tan(4x).
Em seguida,
\int 1\,dx = x.

Passo 4

Substituindo no resultado e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int \tan^{2}(4x)\,dx = \frac{1}{4}\,\tan(4x) - x + C.

Resposta

\frac{1}{4}\tan(4x) - x + C

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