[ total = 1.p. ] Para um dado sistema LIT, a resposta ao degrau (condições iniciais nulas) é obtida como y(t)= \left(1-e^{-t}\right) u(t). Então levando isso em consideração determine a resposta ao impulso h(t) do sistema.

Passo 1

O enunciado nos dá a resposta ao degrau (condições iniciais nulas) de um sistema LTI como
y_{\text{deg}}(t)=\bigl(1-e^{-t}\bigr)\,u(t).
Queremos encontrar a resposta ao impulso h(t). Em teoria de sistemas LTI vale
y_{\text{deg}}(t)=\int_{0}^{t}h(\tau)\,\mathrm{d}\tau,
de onde se obtém
h(t)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\,y_{\text{deg}}(t).

Passo 2

Para derivar corretamente \bigl(1-e^{-t}\bigr)u(t) usamos a regra
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl[f(t)\,u(t)\bigr] = f(0)\,\delta(t) + f'(t)\,u(t).
Aqui f(t)=1-e^{-t} satisfaz f(0)=1-e^{0}=0, de modo que não surge termo em \delta(t). Logo
h(t)=f'(t)\,u(t).

Passo 3

Calculando a derivada de f(t):
f'(t) =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(1-e^{-t}\bigr) =0 - (-e^{-t}) =e^{-t}.
Portanto
h(t)=e^{-t}\,u(t).

Resposta

h(t)=e^{-t}\,u(t).

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