1. Calcule a integral \int_{-\pi}^{\pi} \cos \left(2+\cos ^{2}(x)\right) d x utilizando a regra do Trapézio com m=4 e determine o erro de integração.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar
\int_{-\pi}^{\pi}\cos\bigl(2+\cos^2x\bigr)\,dx
usando a regra do Trapézio com m=4 subintervalos e estimar o erro de integração. Vamos usar a fórmula do Trapézio e, em seguida, a estimativa de erro baseada em \max|f''(x)|.

Passo 2

Definimos f(x)=\cos\bigl(2+\cos^2x\bigr), o intervalo [a,b]=[-\pi,\pi] e
h=\frac{b-a}{m}=\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Os nós são
x_k = -\pi + k\,h,\quad k=0,1,2,3,4.

Passo 3

Calculamos f nos nós:
\begin{aligned} x_0=-\pi,&\quad \cos^2x_0=1\;\Rightarrow\;f(x_0)=\cos(2+1)=\cos3,\\\ x_1=-\tfrac{\pi}{2},&\quad \cos^2x_1=0\;\Rightarrow\;f(x_1)=\cos2,\\\ x_2=0,&\quad \cos^2x_2=1\;\Rightarrow\;f(x_2)=\cos3,\\\ x_3=\tfrac{\pi}{2},&\quad \cos^2x_3=0\;\Rightarrow\;f(x_3)=\cos2,\\\ x_4=\pi,&\quad \cos^2x_4=1\;\Rightarrow\;f(x_4)=\cos3. \end{aligned}

Passo 4

A fórmula do Trapézio com m=4 é
T_4 = h\Bigl(\tfrac{f(x_0)+f(x_4)}{2} + f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)\Bigr).
Substituindo:
T_4 = \frac{\pi}{2}\Bigl(\tfrac{\cos3+\cos3}{2} + (\cos2+\cos3+\cos2)\Bigr) = \frac{\pi}{2}\bigl(\cos3 +\cos3 +2\cos2\bigr) = \pi\bigl(\cos3+\cos2\bigr).
Numericamente,
T_4 \approx \pi\bigl(-0,989992-0,416147\bigr)\approx -4{,}417.

Passo 5

Para estimar o erro, usamos a segunda derivada. Primeiro, derive
f'(x)=\sin\bigl(2+\cos^2x\bigr)\,\sin(2x),
depois
f''(x)=-\cos\bigl(2+\cos^2x\bigr)\,\sin^2(2x) +2\,\sin\bigl(2+\cos^2x\bigr)\,\cos(2x).
Como \bigl|\cos(\cdot)\bigr|\le1 e \bigl|\sin(\cdot)\bigr|\le1, segue
|f''(x)|\le 1\cdot1 + 2\cdot1\cdot1 = 3
em todo [-\pi,\pi]. Logo podemos tomar M=3.

Passo 6

A estimativa de erro do Trapézio é
|E_T|\le \frac{(b-a)^3}{12\,m^2}\,M = \frac{(2\pi)^3}{12\cdot4^2}\;3 =\frac{8\pi^3}{192}\;3 =\frac{\pi^3}{8} \approx 3{,}88.

Resposta

A aproximação pelo Trapézio com m=4 é
T_4 = \pi\bigl(\cos3+\cos2\bigr)\approx -4{,}417
e a estimativa de erro satisfaz
|E_T|\le \frac{\pi^3}{8}\approx 3{,}88.

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