1. Determine o número de subintervalos m de modo que a integral \int_{0}^{\pi}\left(e^{x+1}+\operatorname{sen}(x)+2\right) d x, calculada pelo método de 1 / 3 de Simpson, tenha erro de integração |E|<10^{-4}.

Passo 1

O enunciado pede o número de subintervalos m (par) para que o método composto de Simpson 1/3 aplicado à integral
\int_{0}^{\pi}\bigl(e^{x+1}+\operatorname{sen}(x)+2\bigr)\,dx
tenha erro de aproximação \lvert E\rvert<10^{-4}. O conteúdo necessário é a fórmula do erro do método de Simpson composto e o cálculo da derivada quarta de f(x)=e^{x+1}+\operatorname{sen}(x)+2.

Passo 2

Recordando a estimativa de erro do método de Simpson composto em [a,b] com m subintervalos de largura h=(b-a)/m:
\lvert E\rvert \le \frac{b-a}{180}\,h^{4}\,\max_{x\in[a,b]}\bigl\lvert f^{(4)}(x)\bigr\rvert.
Aqui a=0, b=\pi e h=\pi/m.

Passo 3

Calculamos a quarta derivada de
f(x)=e^{x+1}+\operatorname{sen}(x)+2.
Diferenciando sucessivamente, chega-se a
f^{(4)}(x)=e^{x+1}+\operatorname{sen}(x).
Em [0,\pi], temos
\bigl\lvert f^{(4)}(x)\bigr\rvert \le e^{x+1}+\lvert \operatorname{sen}(x)\rvert \le e^{\pi+1}+1.
Logo podemos tomar
M_{4} = e^{\pi+1}+1.

Passo 4

Substituindo na fórmula do erro:
\lvert E\rvert \le \frac{\pi}{180}\,\biggl(\frac{\pi}{m}\biggr)^{4}\,(e^{\pi+1}+1).
Queremos \lvert E\rvert<10^{-4}, isto é
\frac{\pi}{180}\,\frac{\pi^{4}}{m^{4}}\,(e^{\pi+1}+1)\;<\;10^{-4}.
Rearranjando,
m^{4}\;\ge\;\frac{\pi^{5}\,\bigl(e^{\pi+1}+1\bigr)}{180\cdot10^{-4}}.

Passo 5

Agora estimamos numericamente:
\pi^{5}\approx306{,}02, \quad e^{\pi+1}+1\approx63{,}895,
\frac{\pi^{5}\,(e^{\pi+1}+1)}{180\cdot10^{-4}} \approx1{,}0863\times10^{6}.
Logo m^{4}\ge1{,}0863\times10^{6} implica
m\ge(1{,}0863\times10^{6})^{1/4}\approx32{,}3.
Como m deve ser par, escolhemos o menor inteiro par maior que 32{,}3, ou seja m=34.

Resposta

Para garantir \lvert E\rvert<10^{-4} usando o método de Simpson composto, deve-se usar m=34 subintervalos.

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