A economia de um carro(km/litro) varia com sua velocidade. Em um experimento, são feitas as cinco medições a seguir
Velocidade(km/h) 16 40 64 88 112
Economia(km/litro) 4,2 9,2 10 10,7 8,6
Determine o polinômio de Newton de segunda ordem que pasa pelos pontos.
Use este polinômio para calcuar a economia de combustível a 105 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado dá cinco medidas da economia de um carro em função da velocidade e pede para construir o polinômio de Newton de segunda ordem que interpole a economia e estimar seu valor em 105 km/h.
Conteúdo: interpolação polinomial e diferenças divididas de Newton.
Para interpolar com grau 2 e estimar em x=105, vamos escolher os três pontos cujas abscissas estão mais próximos de 105.

Passo 2

Escolhemos os pontos (x_0,y_0)=(64,10), (x_1,y_1)=(88,10,7) e (x_2,y_2)=(112,8,6),
pois são os mais próximos de 105.
Calculamos as diferenças divididas:
f[x_0]=y_0=10, \quad f[x_1]=y_1=10,7, \quad f[x_2]=y_2=8,6.
f[x_0,x_1]=\frac{10,7-10}{88-64}=\frac{0,7}{24}\approx0,02917,
f[x_1,x_2]=\frac{8,6-10,7}{112-88}=-\frac{2,1}{24}=-0,0875,
f[x_0,x_1,x_2] =\frac{f[x_1,x_2]-f[x_0,x_1]}{112-64} =\frac{-0,0875-0,02917}{48} \approx-0,002431.

Passo 3

O polinômio de Newton de grau 2 é
P(x) = f[x_0] + f[x_0,x_1]\,(x-x_0) + f[x_0,x_1,x_2]\,(x-x_0)(x-x_1).
Substituindo os valores:
P(x) =10 +0,02917\,(x-64) -0,002431\,(x-64)(x-88).

Passo 4

Para x=105:
P(105) =10 +0,02917\,(105-64) -0,002431\,(105-64)(105-88).
Calculando passo a passo:
0,02917\cdot41\approx1,19597, \quad -0,002431\cdot41\cdot17\approx-1,6939,
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P(105)\approx10+1,19597-1,6939\approx9,5021.

Resposta

A economia estimada a 105 km/h é aproximadamente 9,50 km/l.

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