Calcule a integral:
\int_{0}^{\pi} \sin ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)\,dx.
O conteúdo envolve integrais de funções trigonométricas e, para resolver, vamos usar a identidade de ângulo duplo que expressa \sin^{2}(x) em termos de \cos(2x).

Passo 2

Aplicamos a identidade de ângulo duplo:
\sin^{2}(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.

Passo 3

Substituímos na integral e separamos em duas integrais mais simples:
\int_{0}^{\pi} \sin^{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx - \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada parte por separado:
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}1\,dx = \frac{1}{2}\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi} = \frac{\pi}{2};
\int_{0}^{\pi}\cos(2x)\,dx = \bigl[\tfrac{\sin(2x)}{2}\bigr]_{0}^{\pi} = \frac{\sin(2\pi)-\sin(0)}{2} = 0.

Passo 5

Somando os resultados:
\int_{0}^{\pi}\sin^{2}(x)\,dx = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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