Calcule a integral: \int \tan (x) d x Passo 1O enunciado pede a integral indefinida \int \tan(x)\,dx. Vamos usar integração de funções trigonométricas por substituição, transformando a tangente em razão de seno por cosseno. Passo 2Reescrevendo a tangente em termos de seno e cosseno, temos \int \tan(x)\,dx \;=\;\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx. Passo 3Fazemos a substituição u = \cos(x), \quad du = -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\,dx = -\,du. Com isso a integral vira \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx =\int \frac{-\,du}{u} =-\int \frac{du}{u}. Passo 4A antiderivada de 1/u é \ln|u|, logo -\int \frac{du}{u} =-\ln\bigl|u\bigr| + C. Voltando a x, obtemos -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C, que também pode ser escrito como \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr| + C. Resposta -\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule a integral: \int_{0}^{\pi} \sin ^{2}(x) d x Calcule a integral: \int x^{2} d x Mostre que |x-a| \leq \varepsilon \Leftrightarrow x \in[a-\varepsilon, a+\varepsilon], para quaisquer x, a, \varepsilon \in \mathbb{R}. Conclua determinando o conjunto X=\{x \in \mathbb{R} ;|x-1| \leq 2 .\} Considere o conjunto B=\left\{1+\frac{1}{2^{n}} \in \mathbb{R} ; n \in \mathbb{N}\right\}. a) Mostre que B é limitado. b) Determine \sup B e \inf B.