Calcule a integral:
\int \tan (x) d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida \int \tan(x)\,dx. Vamos usar integração de funções trigonométricas por substituição, transformando a tangente em razão de seno por cosseno.

Passo 2

Reescrevendo a tangente em termos de seno e cosseno, temos
\int \tan(x)\,dx \;=\;\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \cos(x), \quad du = -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\,dx = -\,du.
Com isso a integral vira
\int \frac{\sin(x)}{\cos(x)}\,dx =\int \frac{-\,du}{u} =-\int \frac{du}{u}.

Passo 4

A antiderivada de 1/u é \ln|u|, logo
-\int \frac{du}{u} =-\ln\bigl|u\bigr| + C.
Voltando a x, obtemos
-\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C,
que também pode ser escrito como \ln\bigl|\operatorname{sec}(x)\bigr| + C.

Resposta

-\ln\bigl|\cos(x)\bigr| + C

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