Mostre que
|x-a| \leq \varepsilon \Leftrightarrow x \in[a-\varepsilon, a+\varepsilon],
para quaisquer x, a, \varepsilon \in \mathbb{R}. Conclua determinando o conjunto
X=\{x \in \mathbb{R} ;|x-1| \leq 2 .\}

Passo 1

Resumindo, queremos mostrar que a desigualdade
|x - a| \le \varepsilon
é equivalente à afirmação
x \in [\,a - \varepsilon,\;a + \varepsilon\,],
usando a definição de valor absoluto. Em seguida, aplicamos isso para a=1 e \varepsilon=2 e determinamos o conjunto
X = \{x\in\mathbb{R} : |x - 1|\le2\}.

Passo 2

Definição de valor absoluto: para qualquer u\in\mathbb{R} e \varepsilon\ge0, vale
|u| \le \varepsilon \iff -\varepsilon \le u \le \varepsilon.

Passo 3

No nosso caso, fazemos u = x - a. Logo,
|x - a| \le \varepsilon \iff -\varepsilon \le x - a \le \varepsilon.

Passo 4

Somando a em todas as partes da desigualdade, obtemos
a - \varepsilon \le x \le a + \varepsilon
o que significa
x \in [\,a - \varepsilon,\;a + \varepsilon\,].
Isso prova a equivalência desejada.

Passo 5

Para a=1 e \varepsilon=2, o intervalo fica
X = [\,1 - 2,\;1 + 2\,] = [-1,\,3].

Resposta

X = [-1,3]

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