Calcule a integral.
\int r e^{r^{2}} d r

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int r\,e^{r^{2}}\,dr
Esse é um caso clássico de integração por substituição, pois dentro do expoente temos r^{2} e há um fator r fora, que é proporcional à derivada de r^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = r^{2}.
Então a derivada de u em relação a r é
\frac{du}{dr} = 2r
ou seja
du = 2r\,dr \quad\Longrightarrow\quad r\,dr = \tfrac{1}{2}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int r\,e^{r^{2}}\,dr = \int e^{u}\,\Bigl(\tfrac{1}{2}\,du\Bigr) = \tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du.
A integral de e^{u} em u é simplesmente e^{u}, logo
\tfrac{1}{2}\int e^{u}\,du = \tfrac{1}{2}\,e^{u} + C.

Passo 4

Voltando à variável original r, como u=r^{2}, obtemos
\tfrac{1}{2}\,e^{u} + C = \tfrac{1}{2}\,e^{r^{2}} + C.

Resposta

\frac{1}{2}e^{r^{2}} + C

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