Por fim, resolva as seguintes integrais utilizando substituição:
$\quad \int \frac{a x}{a x+b} d x \quad(a \neq 0)\

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{a x}{a x + b}\,dx\quad(a \neq 0)
usando substituição. O conteúdo da matéria é integração por substituição e propriedades de logaritmos naturais.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = a x + b.
Então
du = a\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{du}{a},
e também a x = u - b. Substituindo na integral, temos
\int \frac{a x}{a x + b}\,dx = \int \frac{u - b}{u}\,\frac{du}{a} = \frac{1}{a}\int\Bigl(1 - \frac{b}{u}\Bigr)\,du.
Agora integramos termo a termo:
\frac{1}{a}\int du - \frac{b}{a}\int \frac{du}{u} = \frac{u}{a} - \frac{b}{a}\ln\bigl|u\bigr| + C.

Passo 3

Voltando à variável x, substituímos u = a x + b:
\frac{u}{a} - \frac{b}{a}\ln\bigl|u\bigr| + C = \frac{a x + b}{a} - \frac{b}{a}\ln\bigl|a x + b\bigr| + C.
Repare que \tfrac{b}{a}+C é outra constante arbitrária, que absorvemos em C. Logo a forma simplificada é
x - \frac{b}{a}\ln\bigl|a x + b\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{a x}{a x + b}\,dx = x - \frac{b}{a}\ln\bigl|a x + b\bigr| + C.

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