Por fim, resolva as seguintes integrais utilizando substituição:
\int \sqrt{x} \sin \left(1+x^{3 / 2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{x}\,\sin\bigl(1+x^{3/2}\bigr)\,dx
usando o método de substituição. Precisamos identificar uma parte da integral cuja derivada apareça no integrando.

Passo 2

Vamos fazer a substituição
u = 1 + x^{3/2}.
Então calculamos du:
du = \frac{d}{dx}\bigl(x^{3/2}\bigr)\,dx = \frac{3}{2}\,x^{1/2}\,dx.
Isolando x^{1/2}\,dx, temos
x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, note que \sqrt{x}=x^{1/2} e 1+x^{3/2}=u. Assim
\int \sqrt{x}\,\sin\bigl(1+x^{3/2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\bigl(x^{1/2}\,dx\bigr) = \int \sin(u)\,\frac{2}{3}\,du = \frac{2}{3}\,\int \sin(u)\,du.

Passo 4

Agora integramos \sin(u):
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C.
Logo
\frac{2}{3}\,\int \sin(u)\,du = \frac{2}{3}\bigl(-\cos(u)\bigr)+C = -\frac{2}{3}\cos(u) + C.

Passo 5

Retornando à variável x, lembrando que u = 1 + x^{3/2}, obtemos
-\frac{2}{3}\cos\bigl(1 + x^{3/2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{2}{3}\cos\bigl(1 + x^{3/2}\bigr) + C.

Exercícios relacionados