Seja F(t)=\left(\sin (3 t), e^{t^{2}}, t\right). Calcule
a. \frac{d F}{d t}(t)
b. \frac{d F}{d t}(0)

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \displaystyle F(t)=\bigl(\sin(3t),\,e^{t^2},\,t\bigr)
e pede:
a. \displaystyle \frac{dF}{dt}(t)
b. \displaystyle \frac{dF}{dt}(0)
Conteúdo: derivada de função vetorial componente a componente, usando regra da cadeia.

Passo 2

Calculamos a derivada de cada componente de F:
– Para f_1(t)=\sin(3t), pela regra da cadeia,
f_1'(t)=\cos(3t)\cdot\frac{d}{dt}(3t)=3\cos(3t).
– Para f_2(t)=e^{t^2}, pela regra da cadeia,
f_2'(t)=e^{t^2}\cdot\frac{d}{dt}(t^2)=2t\,e^{t^2}.
– Para f_3(t)=t, temos
f_3'(t)=1.
Logo,
\frac{dF}{dt}(t)=\bigl(3\cos(3t),\,2t\,e^{t^2},\,1\bigr).

Passo 3

Para obter \displaystyle \frac{dF}{dt}(0), basta avaliar em t=0:
3\cos(3\cdot0)=3\cos(0)=3,\qquad 2\cdot0\cdot e^{0^2}=0,\qquad 1=1.
Assim,
\frac{dF}{dt}(0)=(3,\,0,\,1).

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dF}{dt}(t)=\bigl(3\cos(3t),\,2t\,e^{t^2},\,1\bigr).
(b) \displaystyle \frac{dF}{dt}(0)=(3,\,0,\,1).

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