Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t .
r(t)=\cos t \vec{i}+3 t \vec{j}+2 \sin t \vec{k}

Passo 1

O enunciado fornece a curva \mathbf{r}(t)=\cos t\,\vec{i}+3t\,\vec{j}+2\sin t\,\vec{k}
e pede o vetor tangente unitário T(t). Por definição,
T(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|},
ou seja, precisamos calcular a derivada \mathbf{r}'(t) e sua norma.

Passo 2

Derivando cada componente de \mathbf{r}(t), obtemos
\mathbf{r}'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(\cos t\bigr)\,\vec{i} + \frac{d}{dt}\bigl(3t\bigr)\,\vec{j} + \frac{d}{dt}\bigl(2\sin t\bigr)\,\vec{k} = -\sin t\,\vec{i}+3\,\vec{j}+2\cos t\,\vec{k}.

Passo 3

Calculamos a norma de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\| = \sqrt{(-\sin t)^2 + 3^2 + (2\cos t)^2} = \sqrt{\sin^2 t + 9 + 4\cos^2 t} = \sqrt{10 + 3\cos^2 t}.

Passo 4

Aplicamos a definição de vetor tangente unitário:
T(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.

Resposta

T(t) = \frac{-\sin t\,\vec{i}+3\,\vec{j}+2\cos t\,\vec{k}} {\sqrt{10+3\cos^2 t}}.

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