Determine o volume da região sólida limitada pela superfície z=\left(x^{2}+y^{2}\right) \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) e a região plana circular de centro na origem e raio \sqrt{2 \pi} \quad\left(V=-2 \pi^{2}\right. u.v.)

Passo 1

O enunciado pede o volume da região sólida localizada acima do disco \{(x,y)\mid x^2+y^2\le2\pi\}
e abaixo da superfície
z = (x^2+y^2)\,\sin\bigl(x^2+y^2\bigr).
O conteúdo principal aqui é o cálculo de uma dupla integral em coordenadas polares para achar volume:
V=\iint_{D} z\,dA.

Passo 2

Escrevemos o volume como
V = \iint_{D} (x^2+y^2)\,\sin\bigl(x^2+y^2\bigr)\,dA,
onde D é o disco de raio \sqrt{2\pi}.

Passo 3

Em coordenadas polares temos \;x^2+y^2=r^2, \;dA = r\,dr\,d\theta,
e os limites \theta\in[0,2\pi], r\in[0,\sqrt{2\pi}].
Logo
V = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} r^2\sin(r^2)\;r\,dr\,d\theta = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\sqrt{2\pi}}r^3\sin(r^2)\,dr\,d\theta.

Passo 4

Separamos a integração em \theta e r:
V = 2\pi \int_{0}^{\sqrt{2\pi}} r^3\sin(r^2)\,dr.
Para resolver a integral em r, fazemos a substituição \;u=r^2\implies du=2r\,dr,
então r^3\,dr = r^2\,(r\,dr)=u\,\tfrac{du}{2}.
Assim
\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} r^3\sin(r^2)\,dr = \int_{0}^{2\pi} \frac{u}{2}\sin(u)\,du = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}u\sin(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos por partes \int u\sin u\,du.
Tomando U=u, dV=\sin u\,du
\int u\sin u\,du = -u\cos u + \int\cos u\,du = -u\cos u + \sin u.
Avaliando de 0 a 2\pi:
\bigl[-u\cos u + \sin u\bigr]_{0}^{2\pi} = \bigl(-2\pi\cdot1+0\bigr) - (0+0) = -2\pi.
Logo
\int_{0}^{\sqrt{2\pi}} r^3\sin(r^2)\,dr = \frac{1}{2}\!\bigl(-2\pi\bigr) = -\pi.
Portanto
V = 2\pi \,(-\pi) = -2\pi^2.

Resposta

V = -2\pi^2.

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