Determine o volume da região sólida limitada pela superfície
e a região plana circular de centro na origem e raio
u.v.)
Passo 1
O enunciado pede o volume da região sólida localizada acima do disco
e abaixo da superfície
e abaixo da superfície
O conteúdo principal aqui é o cálculo de uma dupla integral em coordenadas polares para achar volume:
Passo 2
Escrevemos o volume como
onde
é o disco de raio
.
Passo 3
Em coordenadas polares temos
,
,
e os limites ,
.
Logo
e os limites
Logo
Passo 4
Separamos a integração em
e
:
Para resolver a integral em
, fazemos a substituição
,
então .
Assim
então
Assim
Passo 5
Agora integramos por partes
.
Tomando ,
dá
Tomando
Avaliando de
a
:
Logo
Portanto