Derive as funções de 6 a 16 .
f(x)=(\ln x)^{x} x^{\ln x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de
f(x) = (\ln x)^{x}\;x^{\ln x}.
O conteúdo principal aqui é a diferenciação de funções em que tanto a base quanto o expoente são variáveis. Para resolver com mais facilidade, vamos usar log-diferenciação, que consiste em aplicar o logaritmo natural e depois derivar.

Passo 2

Definimos y = f(x) e tomamos logaritmo natural em ambos os lados:
\ln y = \ln\bigl((\ln x)^{x}\bigr) + \ln\bigl(x^{\ln x}\bigr).
Usando propriedades de logaritmo, isso fica
\ln y = x\,\ln\bigl(\ln x\bigr) + (\ln x)\,\ln x = x\,\ln\bigl(\ln x\bigr) + \bigl(\ln x\bigr)^{2}.

Passo 3

Agora derivamos ambos os lados em relação a x. Do lado esquerdo vem
\frac{d}{dx}\bigl(\ln y\bigr) = \frac{y'}{y}.
No lado direito, temos duas parcelas:
  1. \displaystyle x\,\ln(\ln x): a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl[x\,\ln(\ln x)\bigr] = 1\cdot\ln(\ln x) + x\cdot\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x}.
  1. \displaystyle (\ln x)^{2}: a derivada é
\frac{d}{dx}\bigl[(\ln x)^{2}\bigr] = 2\,\ln x\cdot\frac{1}{x} = \frac{2\,\ln x}{x}.
Somando, obtemos
\frac{y'}{y} = \ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} + \frac{2\,\ln x}{x}.

Passo 4

Isolando y', usamos y' = y\cdot\frac{y'}{y}. Como y=f(x), fica
f'(x) = (\ln x)^{x}\;x^{\ln x} \;\Biggl[\ln(\ln x) + \frac{1}{\ln x} + \frac{2\,\ln x}{x}\Biggr].

Resposta

f'(x) = (\ln x)^{x}\;x^{\ln x} \;\Biggl[\ln\bigl(\ln x\bigr) + \frac{1}{\ln x} + \frac{2\,\ln x}{x}\Biggr].

Exercícios relacionados