Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2} / a^{2}+z^{2} / c^{2}=1 e os planos y=(b / a) x, y=0, z=0 com x \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A superfície lateral é o cilindro \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1.
  • As superfícies planas que cortam o sólido são y=\dfrac{b}{a}x, y=0 e z=0.
  • Há a restrição x\ge 0.
O que se pede: determinar o volume do sólido limitado por essas superfícies.
Passos úteis para organizar a informação (sem resolver ainda):
  • O cilindro é paralelo ao eixo y (a equação não envolve y), então, para cada ponto (x,z) no corte transversal, a coordenada y varia entre 0 e \dfrac{b}{a}x.
  • A região de projeção no plano xz é o quarto de uma elipse: \{(x,z)\mid x\ge0,\\ z\ge0,\\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\le1\}.

Passo 2

Ideia de cálculo (conceito): como o cilindro é paralelo a y, o volume pode ser obtido projetando o sólido no plano xz e integrando a “altura” em y sobre essa região. Em termos de integral dupla:
V=\iint_{R} \big(y_{\text{max}}(x,z)-y_{\text{min}}(x,z)\big)\,dA,
onde R é a região de projeção no plano xz. Aqui y_{\text{max}}=\dfrac{b}{a}x e y_{\text{min}}=0, logo a “altura” é \dfrac{b}{a}x.
Portanto escrevemos já a integral:
V=\frac{b}{a}\iint_{R} x\,dA,
com
R=\left\{(x,z)\mid x\ge0,\\ z\ge0,\\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\le1\right\}.

Passo 3

Para calcular \iint_{R} x\,dA é conveniente usar uma transformação que torne a elipse em um disco unitário. Faça a mudança linear:
u=\frac{x}{a},\qquad v=\frac{z}{c}.
Explicando a mudança: esta escala em x e z transforma a elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1 no círculo u^{2}+v^{2}=1. A região R se transforma no quarto do disco unitário
S=\{(u,v)\mid u\ge0,\\ v\ge0,\\ u^{2}+v^{2}\le1\}.

Passo 4

Calcular o jacobiano e reescrever a integral. A transformação é linear com matriz diagonal \operatorname{diag}(a,c), logo o determinante (o jacobiano em módulo) é
\left|\frac{\partial(x,z)}{\partial(u,v)}\right|=ac.
Além disso x=a u. Então
x\,dA = x\,dx\,dz = (a u)\,(ac\,du\,dv)=a^{2}c\,u\,du\,dv.
Substituindo na expressão do volume:
V=\frac{b}{a}\iint_{R} x\,dA = \frac{b}{a}\iint_{S} a^{2}c\,u\,du\,dv.

Passo 5

Simplificar os fatores constantes:
\frac{b}{a}\cdot a^{2}c = b a c,
portanto
V = b a c \iint_{S} u\,du\,dv,
com S sendo o quarto do disco unitário u^{2}+v^{2}\le1, u\ge0, v\ge0.

Passo 6

Agora convém usar coordenadas polares no plano (u,v):
u=r\cos\theta,\qquad v=r\sin\theta,
com 0\le r\le1 e 0\le\theta\le\dfrac{\pi}{2} (porque estamos no primeiro quadrante). O jacobiano é r, então
u\,du\,dv = (r\cos\theta)\,(r\,dr\,d\theta)=r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.

Passo 7

Substituindo na integral e separando variáveis:
V = b a c \int_{\theta=0}^{\pi/2}\int_{r=0}^{1} r^{2}\cos\theta\,dr\,d\theta.
Como a integranda é produto de função de r por função de \theta, separa-se:
V = b a c \left(\int_{0}^{1} r^{2}\,dr\right)\left(\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta\right).
Calcule as integrais:
\int_{0}^{1} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3},
\int_{0}^{\pi/2}\cos\theta\,d\theta = \left[\sin\theta\right]_{0}^{\pi/2}=1.
Logo
V = b a c \cdot \frac{1}{3}\cdot 1 = \frac{1}{3}abc.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}abc

Exercícios relacionados