Determine o volume do sólido limitado pelo cilindro x^{2} / a^{2}+z^{2} / c^{2}=1 e os planos y=(b / a) x, y=0, z=0 com x \geq 0.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
A superfície lateral é o cilindro \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1.
As superfícies planas que cortam o sólido são y=\dfrac{b}{a}x, y=0 e z=0.
Há a restrição x\ge 0.
O que se pede: determinar o volume do sólido limitado por essas superfícies.
Passos úteis para organizar a informação (sem resolver ainda):
O cilindro é paralelo ao eixo y (a equação não envolve y), então, para cada ponto (x,z) no corte transversal, a coordenada y varia entre 0 e \dfrac{b}{a}x.
A região de projeção no plano xz é o quarto de uma elipse: \{(x,z)\mid x\ge0,\\ z\ge0,\\ \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}\le1\}.
Passo 2
Ideia de cálculo (conceito): como o cilindro é paralelo a y, o volume pode ser obtido projetando o sólido no plano xz e integrando a “altura” em y sobre essa região. Em termos de integral dupla:
Para calcular \iint_{R} x\,dA é conveniente usar uma transformação que torne a elipse em um disco unitário. Faça a mudança linear:
u=\frac{x}{a},\qquad v=\frac{z}{c}.
Explicando a mudança: esta escala em x e z transforma a elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{z^{2}}{c^{2}}=1 no círculo u^{2}+v^{2}=1. A região R se transforma no quarto do disco unitário
Calcular o jacobiano e reescrever a integral. A transformação é linear com matriz diagonal \operatorname{diag}(a,c), logo o determinante (o jacobiano em módulo) é