Calcule a integral
Passo 1
O enunciado nos dá a integral tripla iterada
e pede para calcular o valor numérico dessa integral. Informações importantes que temos:
- A variável de integração mais interna é
, com limite inferior e superior . - A variável do meio é
, com limites a . - A variável externa é
, com limites a . - O integrando é
, que não depende de nem de (apenas de ).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular a integral interna em
:
Aqui
é constante em relação a
. Lembrete simples (fórmula útil): para uma constante
,
Aplicando isso com
,
,
, obtemos
Passo 3
Agora a integral fica dupla em
e
:
Dentro da integral em
,
é constante. Podemos escrever
Calculemos
. Use a regra de integração termo a termo:
Avaliaremos entre
e
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Portanto a integral reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 4
Calcular a integral em
:
Usamos a regra da potência para integrais: para
,
Aqui
, então
Multiplicando pelo fator
,
Passo 5
Breve checagem de consistência: o integrando original é não negativo no domínio (pois
no intervalo) e os volumes das fatias são pequenos — o resultado
é positivo e razoável para um integrando da ordem de
em um conjunto de tamanho menor que
. Isso ajuda a confirmar que não houve erro de sinal.