Calcule a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{x} \int_{0}^{x-y} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado nos dá a integral tripla iterada
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}\int_{0}^{x-y} x \, dz \, dy \, dx
e pede para calcular o valor numérico dessa integral. Informações importantes que temos:
  • A variável de integração mais interna é z, com limite inferior 0 e superior x-y.
  • A variável do meio é y, com limites 0 a x.
  • A variável externa é x, com limites 0 a 1.
  • O integrando é x, que não depende de z nem de y (apenas de x).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular a integral interna em z:
\int_{0}^{x-y} x \, dz.
Aqui x é constante em relação a z. Lembrete simples (fórmula útil): para uma constante c,
\int_{a}^{b} c \, dz = c\,(b-a).
Aplicando isso com c=x, a=0, b=x-y, obtemos
\int_{0}^{x-y} x \, dz = x\bigl((x-y)-0\bigr)=x(x-y).

Passo 3

Agora a integral fica dupla em y e x:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{x} x(x-y)\, dy \, dx.
Dentro da integral em y, x é constante. Podemos escrever
\int_{0}^{x} x(x-y)\, dy = x\int_{0}^{x} (x-y)\, dy.
Calculemos \int_{0}^{x} (x-y)\, dy. Use a regra de integração termo a termo:
\int (x-y)\, dy = \int x\, dy - \int y\, dy = x y - \frac{y^{2}}{2} + C.
Avaliaremos entre y=0 e y=x:
\left[x y - \frac{y^{2}}{2}\right]_{0}^{x} = \bigl(x\cdot x - \tfrac{x^{2}}{2}\bigr) - 0 = x^{2}-\tfrac{x^{2}}{2}=\tfrac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pelo fator x que estava fora:
x\int_{0}^{x} (x-y)\, dy = x\cdot \tfrac{x^{2}}{2} = \tfrac{x^{3}}{2}.
Portanto a integral reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{1} \tfrac{x^{3}}{2}\, dx.

Passo 4

Calcular a integral em x:
\int_{0}^{1} \tfrac{x^{3}}{2}\, dx = \tfrac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{3}\, dx.
Usamos a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então
\int_{0}^{1} x^{3}\, dx = \left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1^{4}}{4}-0=\frac{1}{4}.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{2},
\tfrac{1}{2}\cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}.

Passo 5

Breve checagem de consistência: o integrando original é não negativo no domínio (pois x\ge0 no intervalo) e os volumes das fatias são pequenos — o resultado \tfrac{1}{8} é positivo e razoável para um integrando da ordem de x em um conjunto de tamanho menor que 1. Isso ajuda a confirmar que não houve erro de sinal.

Resposta

\dfrac{1}{8}

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