Calcule a integral:
\int_{2} \sqrt{3 x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \sqrt{3x+2}\,dx
Este é um caso clássico de integral de uma função composta, e vamos usar o método de substituição para simplificar o cálculo.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = 3x + 2,
de onde
du = 3\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{3}.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int \sqrt{3x+2}\,dx = \int \sqrt{u}\,\frac{du}{3} = \frac{1}{3}\int u^{\tfrac12}\,du.
Agora aplicamos a regra de potência:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}.
Logo,
\frac{1}{3}\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} = \frac{2}{9}\,u^{\tfrac32}.

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = 3x + 2 e acrescentamos a constante de integração C:
\int \sqrt{3x+2}\,dx = \frac{2}{9}\,(3x+2)^{\tfrac32} + C.

Resposta

\frac{2}{9}\,(3x+2)^{\tfrac32} + C

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