Resolva as seguintes equações diferenciais ordinárias e determine se a solução é explícita ou implícita:
Resolva o PVI: \left\{\begin{array}{c}x . y^{\prime}-y=x^{2}+x \\\ y(1)=4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} x\,y' - y = x^2 + x,\\\ y(1)=4, \end{cases}
que é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e linear. Para resolver, vamos colocá-la na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x (considerando x\neq0), obtemos
y' - \frac{1}{x}\,y = x + 1.
Aqui identificamos
p(x) = -\frac{1}{x}, \qquad q(x) = x+1.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp\bigl(-\ln|x|\bigr) = \frac{1}{x}.
Multiplicando a equação por \mu(x),
\frac{1}{x}\,y' - \frac{1}{x^2}\,y = \frac{x+1}{x},
e reconhecemos que o lado esquerdo é \displaystyle\frac{d}{dx}\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr). Logo
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = 1 + \frac{1}{x}.

Passo 4

Integrando em relação a x,
\frac{y}{x} = \int\Bigl(1 + \frac{1}{x}\Bigr)\,dx = x + \ln|x| + C,
de onde
y = x^2 + x\ln|x| + C\,x.
Usando a condição y(1)=4 e \ln|1|=0, temos
4 = 1^2 + 1\cdot0 + C\cdot1 \quad\Longrightarrow\quad C=3.
Assim a solução geral do PVI é
y = x^2 + x\ln|x| + 3x,
valendo para x>0 (já que o ponto inicial é x=1).

Passo 5

Como obtivemos y isolado em função de x, a solução está na forma explícita.

Resposta

y(x) = x^2 + x\ln x + 3x,
solução explícita.

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