Determine se as séries
\sum_{i=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{n^{2}}{n^{3}+4}
convergem ou divergem.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série alternante
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
O conteúdo principal é o Teste de Leibniz para séries alternantes e a análise de convergência absoluta via teste da comparação.

Passo 2

Definimos
b_n = \frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
Primeiro, verificamos o limite de b_n quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n + 4/n^{2}} = 0.

Passo 3

Agora checamos se (b_n) é eventualmente decrescente. Considere a função contínua
f(x)=\frac{x^{2}}{x^{3}+4},\quad x>0.
Calculamos a derivada:
f'(x) =\frac{2x(x^{3}+4)-3x^{2}\cdot x^{2}}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{-x^{4}+8x}{(x^{3}+4)^{2}} =\frac{x(-x^{3}+8)}{(x^{3}+4)^{2}}.
Para x\ge 2 temos -x^{3}+8\le0, logo f'(x)\le0. Isso mostra que b_n é decrescente para n\ge2.

Passo 4

Pelo Teste de Leibniz, sendo b_n\to0 e (b_n) decrescente a partir de certo N, a série alternante converge.
Para verificar convergência absoluta, analisamos
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|(-1)^{n+1}\tfrac{n^{2}}{n^{3}+4}\bigr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+4}.
Para n grande, \tfrac{n^{2}}{n^{3}+4}\sim\tfrac1n. Como \sum1/n diverge, por comparação a série de termos positivos também diverge.

Passo 5

Concluímos que a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz. Em outras palavras, ela converge condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente.

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