Determine se as séries
convergem ou divergem.
convergem ou divergem.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série alternante
O conteúdo principal é o Teste de Leibniz para séries alternantes e a análise de convergência absoluta via teste da comparação.
Passo 2
Definimos
Primeiro, verificamos o limite de
quando
:
Passo 3
Agora checamos se
é eventualmente decrescente. Considere a função contínua
Calculamos a derivada:
Para
temos
, logo
. Isso mostra que
é decrescente para
.
Passo 4
Pelo Teste de Leibniz, sendo
e
decrescente a partir de certo
, a série alternante converge.
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Para
grande,
. Como
diverge, por comparação a série de termos positivos também diverge.
Passo 5
Concluímos que a série não converge absolutamente, mas converge pelo teste de Leibniz. Em outras palavras, ela converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente.