Calcule a integral \int_{0}^{4} \int_{\sqrt{y}}^{2} \operatorname{sen}\left(x^{3}\right) d x d y \cdot(1,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^{2}\sin\bigl(x^{3}\bigr)\,dx\,dy
O principal conteúdo é mudar a ordem de integração, identificando bem a região de integração no plano xy.

Passo 2

Vamos descrever a região
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le y\le 4,\;\sqrt{y}\le x\le 2\bigr\}.
Como \sqrt{y}\le x equivale a y\le x^{2}, e x nunca fica negativo, podemos reescrever
D=\bigl\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le x^{2}\bigr\}.

Passo 3

Invertendo a ordem de integração, obtemos
\int_{0}^{4}\int_{\sqrt{y}}^{2}\sin(x^{3})\,dx\,dy = \int_{0}^{2}\int_{0}^{x^{2}}\sin(x^{3})\,dy\,dx.
Agora, integramos primeiro em y:
\int_{0}^{x^{2}}\sin(x^{3})\,dy =\sin(x^{3})\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{x^{2}} =x^{2}\,\sin(x^{3}).
Assim a integral vira
\int_{0}^{2}x^{2}\,\sin(x^{3})\,dx.

Passo 4

Para calcular
\int_{0}^{2}x^{2}\,\sin(x^{3})\,dx
fazemos a substituição u=x^{3}, de modo que du=3x^{2}dx ou x^{2}dx=\tfrac{1}{3}du. Quando x=0, u=0; quando x=2, u=8. Logo,
\int_{0}^{2}x^{2}\,\sin(x^{3})\,dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{8}\sin(u)\,du =\frac{1}{3}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{8} =\frac{1}{3}\bigl(1-\cos(8)\bigr).

Resposta

\frac{1-\cos(8)}{3}

Exercícios relacionados