Uma superfície metálica com formato paraboloidal é exposta a uma radiação solar uniforme. A superfície é descrita por z=x^{2}+y^{2} e está delimitada delơ disco x^{2}+y^{2} \leq 4 no plano z=0, formando uma espécie de “antena parabólica”.
Sabendo que a radiação solar incide perpendicularmente à superfície e que a quantidade total de energia absorvida é proporcional à área real da superfície, determine:
a) A área da superfície exposta à radiação. (1,5)
b) A quantidade total de energia absorvida, sabendo que a taxa de absorçāo é de 10 W por metro quadrado. (0,5)

Passo 1

O enunciado pede a área da parte da superfície paraboloidal
z = x^2 + y^2
sobre o disco x^2 + y^2 \le 4, e em seguida a energia absorvida a 10 W/ m^{2}.
O conteúdo é cálculo de área de superfície de gráfico de função de duas variáveis, usando
A = \iint_D \sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2}\,dA,
e coordenadas polares para facilitar a integração.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^2:
f_x = 2x, \qquad f_y = 2y.
Logo a área é
A = \iint_D \sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2}\;dA = \iint_D \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}\;dA,
onde D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le2^2\}.

Passo 3

Passe para coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta), com 0\le r\le2, 0\le\theta\le2\pi:
A = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4r^2}\;r\,dr\,d\theta.

Passo 4

Faça a substituição
u = 1 + 4r^2 \quad\Longrightarrow\quad du = 8r\,dr,
de modo que r\,dr = du/8, e quando r=0 vem u=1, quando r=2 vem u=17. Assim
\int_{0}^{2}r\sqrt{1+4r^2}\,dr = \int_{1}^{17}\frac{\sqrt{u}}{8}\,du = \frac{1}{8}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[u^{3/2}\Bigr]_{1}^{17} = \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr).

Passo 5

Voltando a A:
A = 2\pi \cdot \frac{1}{12}\bigl(17^{3/2}-1\bigr) = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)\\ \text{m}^2.

Passo 6

A energia total absorvida a 10 W/ m^{2} é
E = 10\cdot A = 10\cdot \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr) = \frac{5\pi}{3}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)\\ \text{W}.

Resposta

a) \displaystyle A = \frac{\pi}{6}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)\\ \text{m}^2.
b) \displaystyle E = \frac{5\pi}{3}\bigl(17\sqrt{17}-1\bigr)\\ \text{W}.

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