Calcule a integral.
\int_{0}^{2}(x-2)(3-4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}(x-2)(3-4x)\,dx.
O conteúdo envolvido é a integração de um polinômio. Vamos resolver em quatro etapas: (i) expandir o produto para obter um polinômio, (ii) escrever a integral em termos desse polinômio, (iii) encontrar a primitiva usando a regra do poder e a linearidade, (iv) aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo avaliando nos limites.

Passo 2

Expandindo o integrando, temos
(x-2)(3-4x) = x\cdot3 + x\cdot(-4x) -2\cdot3 -2\cdot(-4x) = -4x^{2} + 11x -6.
Logo a integral vira
\int_{0}^{2}(-4x^{2} + 11x -6)\,dx.

Passo 3

Pela linearidade da integral e pela regra do poder \int x^{n}dx = x^{n+1}/(n+1), uma primitiva é
F(x) = \int(-4x^{2})\,dx + \int(11x)\,dx - \int6\,dx = -\frac{4}{3}x^{3} + \frac{11}{2}x^{2} -6x.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}(x-2)(3-4x)\,dx = F(2) - F(0).
Calculando:
F(2) = -\frac{4}{3}\cdot2^{3} + \frac{11}{2}\cdot2^{2} -6\cdot2 = -\frac{32}{3} + \frac{44}{2} -12 = -\frac{32}{3} +22 -12 = -\frac{32}{3} +10 = -\frac{2}{3},
e F(0)=0. Portanto o valor da integral é -\tfrac{2}{3}.

Resposta

-\frac{2}{3}.

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