Calcule a integral.
\int\left(2^{x}-5 e^{x}+x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\bigl(2^{x}-5e^{x}+x^{2}\bigr)\,dx.
Este problema envolve integração de funções elementares: exponencial de base qualquer, exponencial neperiana e polinômio. Para resolvê-lo, vamos usar:
  1. A linearidade da integral.
  2. As fórmulas
    \displaystyle \int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a},
    \displaystyle \int e^{x}\,dx = e^{x},
    \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos os termos:
\int\bigl(2^{x}-5e^{x}+x^{2}\bigr)\,dx = \int 2^{x}\,dx \;-\; 5\int e^{x}\,dx \;+\; \int x^{2}\,dx.

Passo 3

Aplicando a fórmula de a^{x}:
\int 2^{x}\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2}.

Passo 4

Para o termo com e^{x}:
-5\int e^{x}\,dx = -5\,e^{x}.

Passo 5

Para o polinômio x^{2}:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
\int\bigl(2^{x}-5e^{x}+x^{2}\bigr)\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2} - 5e^{x} + \frac{x^{3}}{3} + C.

Resposta

\frac{2^{x}}{\ln 2} \;-\; 5e^{x} \;+\;\frac{x^{3}}{3} \;+\; C

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