Considere a funçào
para responder os itens abaixo
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine os pontos de interseção como os eixos coordenados, caso haja.
(c) Analise a simetria do gráfico da funçăo.
(d) Analise se a curva possui assintotas. Em caso positivo, encontre-as.
(e) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento da função.
(f) Encontre os valores de máximo ou mínimo locais, caso possua.
(g) Anlise os intervalos em relação a concavidade e determine os pontos de inflexão, caso haja.
(h) Use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico.
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine os pontos de interseção como os eixos coordenados, caso haja.
(c) Analise a simetria do gráfico da funçăo.
(d) Analise se a curva possui assintotas. Em caso positivo, encontre-as.
(e) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento da função.
(f) Encontre os valores de máximo ou mínimo locais, caso possua.
(g) Anlise os intervalos em relação a concavidade e determine os pontos de inflexão, caso haja.
(h) Use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico.
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
envolvendo domínio, interseções, simetria, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso vamos usar conceitos de domínio de raízes, limites, derivadas primeira e segunda.
Passo 2
Domínio: como
para todo
, a raiz
nunca zera nem fica negativa. Logo
Interseções:
– Eixo : resolvemos
, daí a interseção é
.
– Eixo : é o valor
, ou seja, mesma interseção
.
Interseções:
– Eixo
– Eixo
Passo 3
Simetria: calculemos
Portanto
é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.
Passo 4
Assíntotas horizontais:
Não há assíntotas verticais. Assim as assíntotas são
Passo 5
Derivada primeira:
Como
para todo
, a função é estritamente crescente em
e não possui máximos nem mínimos locais.
Passo 6
Derivada segunda:
Logo
– Para ,
(côncava para cima).
– Para ,
(côncava para baixo).
O ponto de inflexão ocorre em .
– Para
– Para
O ponto de inflexão ocorre em
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Em ,
vindo de concavidade para cima.
– Passa por com inflexão.
– Em ,
vindo de concavidade para baixo.
É uma curva estritamente crescente, simétrica ímpar, limitada entre as assíntotas horizontais e
.
– Em
– Passa por
– Em
É uma curva estritamente crescente, simétrica ímpar, limitada entre as assíntotas horizontais
Resposta
(a) Domínio:
.
(b) Interseções: com ambos eixos em .
(c) Simetria: ímpar (simétrica em relação à origem).
(d) Assíntotas: horizontais e
.
(e) Crescimento/decrescimento: crescente em todo .
(f) Extremos locais: não possui.
(g) Concavidade: côncava para cima em , côncava para baixo em
; ponto de inflexão em
.
(h) Gráfico: curva crescente que de em
sobe, passa em
e tende a
em
, mudando de concavidade em
.
(b) Interseções: com ambos eixos em
(c) Simetria: ímpar (simétrica em relação à origem).
(d) Assíntotas: horizontais
(e) Crescimento/decrescimento: crescente em todo
(f) Extremos locais: não possui.
(g) Concavidade: côncava para cima em
(h) Gráfico: curva crescente que de