Considere a funçào f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}} para responder os itens abaixo
(a) Determine o domínio da função.
(b) Determine os pontos de interseção como os eixos coordenados, caso haja.
(c) Analise a simetria do gráfico da funçăo.
(d) Analise se a curva possui assintotas. Em caso positivo, encontre-as.
(e) Determine os intervalos de crescimento e descrescimento da função.
(f) Encontre os valores de máximo ou mínimo locais, caso possua.
(g) Anlise os intervalos em relação a concavidade e determine os pontos de inflexão, caso haja.
(h) Use as informações dos itens anteriores para esboçar o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}
envolvendo domínio, interseções, simetria, assíntotas, monotonicidade, extremos locais, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Para isso vamos usar conceitos de domínio de raízes, limites, derivadas primeira e segunda.

Passo 2

Domínio: como x^{2}+4>0 para todo x\in\mathbb{R}, a raiz \sqrt{x^{2}+4} nunca zera nem fica negativa. Logo \text{Domínio}=\mathbb{R}.í
Interseções:
– Eixo x: resolvemos f(x)=0\Rightarrow x=0, daí a interseção é (0,0).
– Eixo y: é o valor f(0)=0, ou seja, mesma interseção (0,0).

Passo 3

Simetria: calculemos
f(-x)=\frac{-x}{\sqrt{(-x)^{2}+4}}=-\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}=-f(x).
Portanto f é ímpar e o gráfico é simétrico em relação à origem.

Passo 4

Assíntotas horizontais:
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}=1, \quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-1.
Não há assíntotas verticais. Assim as assíntotas são
y=1 \quad\text{e}\quad y=-1.

Passo 5

Derivada primeira:
f'(x) =\frac{(x^{2}+4)^{1/2}-x\cdot\frac{x}{(x^{2}+4)^{1/2}}}{x^{2}+4} =\frac{x^{2}+4 - x^{2}}{(x^{2}+4)^{3/2}} =\frac{4}{(x^{2}+4)^{3/2}}>0.
Como f'(x)>0 para todo x, a função é estritamente crescente em \mathbb{R} e não possui máximos nem mínimos locais.

Passo 6

Derivada segunda:
f''(x) =\frac{d}{dx}\Bigl[4(x^{2}+4)^{-3/2}\Bigr] =4\cdot(-\tfrac{3}{2})(2x)(x^{2}+4)^{-5/2} =-\frac{12x}{(x^{2}+4)^{5/2}}.
Logo
– Para x<0, f''(x)>0 (côncava para cima).
– Para x>0, f''(x)<0 (côncava para baixo).
O ponto de inflexão ocorre em x=0.

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Em x\to-\infty, f(x)\to-1 vindo de concavidade para cima.
– Passa por (0,0) com inflexão.
– Em x\to+\infty, f(x)\to1 vindo de concavidade para baixo.
É uma curva estritamente crescente, simétrica ímpar, limitada entre as assíntotas horizontais y=-1 e y=1.

Resposta

(a) Domínio: \mathbb{R}.
(b) Interseções: com ambos eixos em (0,0).
(c) Simetria: ímpar (simétrica em relação à origem).
(d) Assíntotas: horizontais y=1 e y=-1.
(e) Crescimento/decrescimento: crescente em todo \mathbb{R}.
(f) Extremos locais: não possui.
(g) Concavidade: côncava para cima em x<0, côncava para baixo em x>0; ponto de inflexão em x=0.
(h) Gráfico: curva crescente que de -1 em x\to-\infty sobe, passa em (0,0) e tende a 1 em x\to+\infty, mudando de concavidade em 0.

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