Calcule a integral.
\int\left(\frac{1}{x}-2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\Bigl(\frac{1}{x}-2\operatorname{sec}^{2}x\Bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso da linearidade da integral e as integrais básicas \displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx e \displaystyle\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx.

Passo 2

Pela propriedade da linearidade, escrevemos
\int\Bigl(\frac{1}{x}-2\operatorname{sec}^{2}x\Bigr)\,dx =\int\frac{1}{x}\,dx \;-\;2\int\operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Sabemos que
\int\frac{1}{x}\,dx=\ln\bigl|x\bigr| \quad\text{e}\quad \int\operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x.

Passo 3

Substituindo esses resultados, temos
\ln\bigl|x\bigr| \;-\;2\tan x \;+\;C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\ln\bigl|x\bigr|-2\tan x+C.

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