Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas indicadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
usando integração por partes com as escolhas indicadas:
Informações dadas/necessárias para a resolução: a integral a ser encontrada e as escolhas de
e
. Não iniciamos a resolução aqui, só registramos o que foi pedido.
Passo 2
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Ela é uma versão do produto derivado para integrais e diz que, para funções
e
suficientemente suaves,
Aqui
é uma função cuja derivada sabemos calcular,
é outra parte que podemos integrar para obter
. A ideia é transformar a integral original numa mais simples. Aplicaremos essa fórmula com as escolhas dadas.
Passo 3
Calcular
. Temos
. Preciso da derivada de
. Posso obter essa derivada por diferenciação implícita: se
, então
. Derivando em relação a
,
ou seja
Como
e
, segue
. Portanto
Logo, em notação diferential,
Passo 4
Calcular
. Como
, basta integrar
:
(Desprezamos a constante de integração nessa etapa porque será absorvida pela constante final.)
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
, obtemos
Portanto restou calcular a integral
Passo 6
Resolver a integral residual por substituição. Escolho a substituição simples
Então
Também
. Substituindo na integral,
Passo 7
Calcular a integral em
:
Voltando à variável
, isso dá
Passo 8
Substituir esse resultado na expressão obtida por partes. Lembrando que
temos
Ou seja
Passo 9
Cheque rápido (verificação): derivando a resposta
,
Como
, os dois termos com
se cancelam, sobrando
. Isso confirma que a primitiva está correta.