Calcule a integral usando a integração por partes com as escolhas indicadas:
\int \sin ^{-1}(x) d x, u=\sin ^{-1}(x), d v=d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sin^{-1}(x)\,dx
usando integração por partes com as escolhas indicadas:
u=\sin^{-1}(x),\qquad dv=dx.
Informações dadas/necessárias para a resolução: a integral a ser encontrada e as escolhas de u e dv. Não iniciamos a resolução aqui, só registramos o que foi pedido.

Passo 2

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Ela é uma versão do produto derivado para integrais e diz que, para funções u(x) e v(x) suficientemente suaves,
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui u é uma função cuja derivada sabemos calcular, dv é outra parte que podemos integrar para obter v. A ideia é transformar a integral original numa mais simples. Aplicaremos essa fórmula com as escolhas dadas.

Passo 3

Calcular du. Temos u=\sin^{-1}(x). Preciso da derivada de \sin^{-1}(x). Posso obter essa derivada por diferenciação implícita: se y=\sin^{-1}(x), então \sin(y)=x. Derivando em relação a x,
\cos(y)\,\frac{dy}{dx}=1,
ou seja
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos(y)}.
Como \cos(y)=\sqrt{1-\sin^2(y)} e \sin(y)=x, segue \cos(y)=\sqrt{1-x^2}. Portanto
\frac{d}{dx}\big(\sin^{-1}(x)\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Logo, em notação diferential,
du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 4

Calcular v. Como dv=dx, basta integrar dv:
v=\int dx = x.
(Desprezamos a constante de integração nessa etapa porque será absorvida pela constante final.)

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int \sin^{-1}(x)\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u=\sin^{-1}(x), v=x e du=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx, obtemos
\int \sin^{-1}(x)\,dx = x\sin^{-1}(x) - \int x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Portanto restou calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 6

Resolver a integral residual por substituição. Escolho a substituição simples
t=1-x^2.
Então
dt=-2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=-\frac{1}{2}\,dt.
Também \sqrt{1-x^2}=\sqrt{t}=t^{1/2}. Substituindo na integral,
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{x\,dx}{t^{1/2}} = \int \frac{-\tfrac{1}{2}\,dt}{t^{1/2}} = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.

Passo 7

Calcular a integral em t:
-\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\frac{1}{2}\cdot\biggl( \frac{t^{1/2}}{1/2}\biggr) + C = -t^{1/2} + C.
Voltando à variável x, isso dá
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 8

Substituir esse resultado na expressão obtida por partes. Lembrando que
\int \sin^{-1}(x)\,dx = x\sin^{-1}(x) - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx,
temos
\int \sin^{-1}(x)\,dx = x\sin^{-1}(x) - \bigl(-\sqrt{1-x^2}\bigr) + C.
Ou seja
\int \sin^{-1}(x)\,dx = x\sin^{-1}(x) + \sqrt{1-x^2} + C.

Passo 9

Cheque rápido (verificação): derivando a resposta F(x)=x\sin^{-1}(x)+\sqrt{1-x^2},
F'(x)=\sin^{-1}(x) + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^2}\big).
Como \dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{1-x^2}\big)=\dfrac{1}{2}(1-x^2)^{-1/2}\cdot(-2x)=-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}, os dois termos com x/\sqrt{1-x^2} se cancelam, sobrando F'(x)=\sin^{-1}(x). Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

x\sin^{-1}(x)+\sqrt{1-x^2}+C

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