Calcule a integral
\int_{0}^{4} \int_{x=y / 2}^{x=(y / 2)+1} \frac{2 x-y}{2} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\int_{0}^{4}\int_{x=\tfrac y2}^{\,x=\tfrac y2+1}\frac{2x-y}{2}\,dx\,dy
usando o Teorema de Fubini. O conteúdo principal aqui é integral iterada e uma pequena simplificação do integrando antes de integrar.

Passo 2

Observe que
\frac{2x - y}{2} = x - \frac{y}{2},
ou seja, ao integrar em x o termo \tfrac y2 se comporta como constante.

Passo 3

Calculemos a integral interna
I(y)=\int_{x=\tfrac y2}^{\,x=\tfrac y2+1}\Bigl(x - \tfrac{y}{2}\Bigr)\,dx.
Use a substituição simples
u = x - \frac{y}{2},
de modo que quando x=\tfrac y2 temos u=0 e quando x=\tfrac y2+1 temos u=1. Então
I(y)=\int_{0}^{1}u\,du = \Bigl[\tfrac{u^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} = \frac12.

Passo 4

Como a integral interna não depende de y (vale sempre \tfrac12), a integral dupla vira
\int_{0}^{4}I(y)\,dy = \int_{0}^{4}\frac12\,dy = \frac12\cdot 4 = 2.

Resposta

2

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