(0.5) Calcule a integral \int_{1}^{2}(3 x+2) d x usando a definição vista em sala (limite da soma de Riemann).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{1}^{2}(3x+2)\,dx
usando a definição de integral como limite de soma de Riemann. Vamos particionar o intervalo [1,2] em n subintervalos de largura \Delta x, escolher pontos de amostragem (aqui, usaremos extremos diretos) e depois levar n\to\infty.

Passo 2

Definimos
\Delta x = \frac{2-1}{n} = \frac{1}{n},
e os pontos de amostragem pelas extremidades direitas
x_i = 1 + i\,\Delta x = 1 + \frac{i}{n},\quad i=1,2,\dots,n.
A soma de Riemann é
S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x = \sum_{i=1}^{n}\bigl(3x_i+2\bigr)\,\frac{1}{n}.

Passo 3

Substituindo x_i=1+\tfrac{i}{n} em 3x_i+2, obtemos
3x_i+2 = 3\Bigl(1+\frac{i}{n}\Bigr)+2 = 5 + \frac{3i}{n}.
Logo,
S_n = \sum_{i=1}^n\Bigl(5 + \frac{3i}{n}\Bigr)\frac{1}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 5 \;+\;\frac{3}{n^2}\sum_{i=1}^n i.
Como \sum_{i=1}^n5=5n e \sum_{i=1}^n i=\tfrac{n(n+1)}{2}, resulta
S_n = \frac{5n}{n} \;+\;\frac{3}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = 5 + \frac{3\,(n+1)}{2n}.

Passo 4

Para obter a integral, fazemos n\to\infty:
\int_{1}^{2}(3x+2)\,dx = \lim_{n\to\infty}S_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl(5 + \frac{3(n+1)}{2n}\Bigr) = 5 + \frac{3}{2} = \frac{13}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{2}

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