Use o teorema Fundamental do Cálculo para determinar \frac{d y}{d x}
y=\int_{a}^{x}\left(t^{3}+1\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2), que diz que se definimos
y(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt
então a derivada de y em relação a x é
\frac{dy}{dx}=f(x).
Aqui temos f(t)=t^{3}+1.

Passo 2

Aplicando diretamente o teorema, como o limite superior da integral é x, basta substituir t por x em f(t). Logo
\frac{dy}{dx}=x^{3}+1.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=x^{3}+1

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