Uma tubulação deve conectar um tanque grande que contém água a uma pressão manométrica de 150 kPa , a otro tanque grande e exposto à atmosfera. O projeto básico da tubulação indica que o comprimento total dos tubos (construídos em aço comercial) necessário para a implementação do sistema é igual a 870 m . Sabendo que a superfície livre da água no tanque aberto para a atmosfera está 35,0 \mathrm{~m} abaixo da superfície livre da água no tanque pressurizado, determine o diâmetro interno da tubulação necessário para que a vazão na tubulação seja igual a 0,125 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Admita que as perdas de carga localizadas são desprezíveis.

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro interno D de uma tubulação de comprimento total L=870,m que liga dois tanques de água, sendo o tanque de montante manométrico de p=150,kPa (gauge) e o tanque de jusante aberto à atmosfera. A superfície livre do tanque de jusante está \Delta z=35{,}0,m abaixo da superfície livre do tanque de montante. A vazão requerida é Q=0{,}125,m³/s.
Conteúdo: aplicação da equação de energia entre as superfícies livres (pressão + carga de altura) e da fórmula de perdas por atrito de Darcy–Weisbach, com fator de atrito obtido pela fórmula de Swamee–Jain (ou Colebrook).

Passo 2

Calcular a carga disponível (em metros de coluna d’água) entre as superfícies livres:
H = \frac{p}{\rho g} + \Delta z
Adotando \rho=1000,kg/m³ e g=9{,}81,m/s²,
\frac{p}{\rho g} = \frac{150\,000}{1000 \times 9{,}81}\approx15{,}29\text{ m},
H = 15{,}29 + 35{,}0 = 50{,}29\text{ m}.

Passo 3

A perda de carga por atrito na tubulação segundo Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g},
e a velocidade média v relaciona-se com Q por
v = \frac{4Q}{\pi D^2}.
Igualando h_f = H, obtemos
H = f\,\frac{L}{D}\,\frac{1}{2g}\Bigl(\frac{4Q}{\pi D^2}\Bigr)^2 = \frac{4\,f\,L\,Q^2}{g\,\pi^2\,D^5}.

Passo 4

Reescrevendo para f, definimos a constante
K = \frac{4\,L\,Q^2}{g\,\pi^2}\approx0{,}562 \quad\Rightarrow\quad f = \frac{H\,D^5}{K}.
Por outro lado, o fator de atrito f em escoamento turbulento se obtém pela fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\Bigl[\log_{10}\!\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7\,D} + \tfrac{5{,}74}{\Re^{0,9}}\bigr)\Bigr]^{-2},
com
\Re = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{4Q}{\pi\,D\,\nu},
adotando \nu=1{,}0\times10^{-6},m²/s e rugosidade típica para aço comercial \varepsilon=4{,}5\times10^{-5},m.

Passo 5

Resolvemos numericamente para D por iteração (chute inicial, cálculo de f, do H_{\rm calc} e ajuste de D).
  1. Chute D=0{,}10 m: obtém-se f\approx0{,}0168 e H_{\rm calc}\approx941,m \gg50{,}29, logo D deve aumentar.
  2. Chute D=0{,}30 m: obtém-se f\approx0{,}0149 e H_{\rm calc}\approx3{,}5,m \ll50{,}29, logo D deve diminuir.
  3. Chutes intermediários:
    • Para D=0{,}17 m → H_{\rm calc}\approx61{,}2,m;
    • Para D=0{,}18 m → H_{\rm calc}\approx45{,}8,m.
  4. Refinando em torno de 0{,}175 m, chega-se a D \approx 0{,}177\text{ m},para o qual H_{\rm calc}\approx50{,}3,m coincide com H.

Resposta

O diâmetro interno necessário da tubulação é
\boxed{D \approx 0{,}178\text{ m}.}

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