Utilize a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas w=x^{2}+y^{2}+z^{2}, x=s . t, y=s . \cos (t), z= \operatorname{s.sen}(t) ; \frac{\partial w}{\partial s}, \frac{\partial^{2} w}{\partial s^{2}} quando s=1, t=0. (2,0 ponto)

Passo 1

O enunciado define
w = x^2 + y^2 + z^2,
com
x = s\,t,\quad y = s\cos(t),\quad z = s\operatorname{sen}(t),
e pede \tfrac{\partial w}{\partial s} e \tfrac{\partial^2 w}{\partial s^2} no ponto s=1,\\ t=0. Vamos usar a Regra da Cadeia para funções compostas e depois avaliar.

Passo 2

Calculemos primeiro as derivadas parciais de x,y,z em relação a s (mantendo t constante):
\frac{\partial x}{\partial s} = t,\quad \frac{\partial y}{\partial s} = \cos(t),\quad \frac{\partial z}{\partial s} = \operatorname{sen}(t).
Pela Regra da Cadeia para w(x,y,z), temos
\frac{\partial w}{\partial s} = 2x\,\frac{\partial x}{\partial s} +2y\,\frac{\partial y}{\partial s} +2z\,\frac{\partial z}{\partial s} =2\bigl(x\,t + y\,\cos(t) + z\,\operatorname{sen}(t)\bigr).

Passo 3

Agora derivamos novamente em relação a s. Note que t, \cos(t) e \operatorname{sen}(t) são independentes de s, logo suas derivadas parciais são zero. Assim,
\frac{\partial^2 w}{\partial s^2} =2\Bigl(\frac{\partial x}{\partial s}\,t + \frac{\partial y}{\partial s}\,\cos(t) +\frac{\partial z}{\partial s}\,\operatorname{sen}(t)\Bigr) =2\bigl(t^2 + \cos^2(t) + \operatorname{sen}^2(t)\bigr).

Passo 4

Usando a identidade trigonométrica \cos^2(t)+\operatorname{sen}^2(t)=1, simplificamos
\frac{\partial^2 w}{\partial s^2} =2\bigl(t^2+1\bigr).

Passo 5

Finalmente, avaliamos em s=1 e t=0:
x(1,0)=1\cdot0=0,\quad y(1,0)=1\cdot1=1,\quad z(1,0)=1\cdot0=0.
Logo
\frac{\partial w}{\partial s}\Big|_{(1,0)} =2\bigl(0\cdot0 + 1\cdot1 + 0\cdot0\bigr)=2,
\frac{\partial^2 w}{\partial s^2}\Big|_{(1,0)} =2\bigl(0^2+1\bigr)=2.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial w}{\partial s}\bigg|_{(1,0)}=2,\quad \frac{\partial^2 w}{\partial s^2}\bigg|_{(1,0)}=2.

Exercícios relacionados