Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y-2 y}{x^{2} y^{2}+3 x^{2} y-4 y^{2}-12 y} (1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado pede o limite de
\frac{x\,y - 2\,y}{x^{2}y^{2} + 3x^{2}y - 4y^{2} - 12y}
quando (x,y)\to(0,0).
O conteúdo envolvido é cálculo de limite de função de duas variáveis e manipulação algébrica para simplificar a expressão antes de aplicar a substituição direta.

Passo 2

Observe que tanto o numerador quanto o denominador têm fator comum y. De fato,
x\,y - 2\,y = y\,(x - 2)
e
x^{2}y^{2} + 3x^{2}y - 4y^{2} - 12y = y\bigl(x^{2}y + 3x^{2} - 4y - 12\bigr).
Logo, para y\neq0, a fração fica
\frac{y\,(x - 2)}{y\bigl(x^{2}y + 3x^{2} - 4y - 12\bigr)} = \frac{x - 2}{x^{2}y + 3x^{2} - 4y - 12}.

Passo 3

Agora avaliamos o limite da expressão simplificada
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x - 2}{x^{2}y + 3x^{2} - 4y - 12}.
Como x^{2}y + 3x^{2} - 4y tende a 0 quando (x,y)\to(0,0), o denominador tende a -12. O numerador tende a 0 - 2 = -2. Portanto, por continuidade de funções polinomiais em duas variáveis,
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x - 2}{x^{2}y + 3x^{2} - 4y - 12} = \frac{-2}{-12} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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