Calcule a integral de:
\int y^{3}\left(2 y^{2}-3\right) d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int y^{3}\bigl(2y^{2}-3\bigr)\,dy,
que é um caso de integração de polinômio. Vamos usar duas ideias: distribuir o produto para obter uma soma de potências de y e aplicar a regra
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Distribuindo o fator y^3 dentro do parêntese, temos
\int y^{3}\bigl(2y^{2}-3\bigr)\,dy = \int \bigl(2y^{5} - 3y^{3}\bigr)\,dy.

Passo 3

Aplicando a integração termo a termo:
\int 2y^{5}\,dy = 2 \cdot \frac{y^{6}}{6} = \frac{y^{6}}{3},
\int 3y^{3}\,dy = 3 \cdot \frac{y^{4}}{4} = \frac{3y^{4}}{4}.
Logo,
\int \bigl(2y^{5} - 3y^{3}\bigr)\,dy = \frac{y^{6}}{3} - \frac{3y^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\frac{y^{6}}{3} \;-\;\frac{3y^{4}}{4} \;+\; C

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