7^{a} Questão ( 0,4 ponto): Determine se as seguintes sentenças são verdadeiras ( \mathbf{V} ) ou falsas (F). Justifique.
a) ( ) O conjunto imagem da função f definida por f(x)=\log _{0,5}(x-1) é dado por
\operatorname{Im}_{f}=\{y \in R / y>1\} .
b) ( ) Se \log _{2} y=x+3, então y=2^{x}+8.
c) ( ) \log _{a} 2-\frac{1}{2} \log _{a} 4-3 \log _{a} y=\log _{a}\left(\frac{1}{y^{3}}\right).
d) ( ) O conjunto domínio da função g definida por g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x} é dado por D_{g}=R.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se cada uma das quatro sentenças sobre funções e logaritmos é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando cada resposta. Vamos usar propriedades de domínio e imagem de funções, além das regras de logaritmos.

Passo 2

Analisando a) f(x)=\log_{0,5}(x-1).
O domínio exige x-1>0, ou seja x>1. Para a imagem, note que ao resolver
y=\log_{0,5}(x-1)\quad\Longrightarrow\quad x-1=(0,5)^{y},
e como (0,5)^{y} varia em (0,\infty) quando y percorre \mathbb{R}, concluímos que a imagem de f é \mathbb{R}. A afirmação “ \operatorname{Im}_f=\{y\in\mathbb{R}\mid y>1\}” está errada. Logo, a) é F.

Passo 3

Analisando b) \log_{2}y=x+3.
Aplicando exponenciação na base 2,
y=2^{\,x+3}=2^{x}\cdot2^{3}=8\cdot2^{x},
e não 2^{x}+8. Portanto, b) é F.

Passo 4

Analisando c) \log_{a}2-\tfrac{1}{2}\log_{a}4-3\log_{a}y.
Usando \tfrac12\log_{a}4=\log_{a}4^{1/2}=\log_{a}2 e 3\log_{a}y=\log_{a}y^{3}, temos
\log_{a}2-\log_{a}2-\log_{a}y^{3} =-\log_{a}y^{3} =\log_{a}\bigl(y^{3}\bigr)^{-1} =\log_{a}\bigl(\tfrac{1}{y^{3}}\bigr).
A igualdade está correta, logo c) é V.

Passo 5

Analisando d) g(x)=(\tfrac12)^{x}.
Funções exponenciais com base positiva e diferente de 1 estão definidas para todo x\in\mathbb{R}. Então D_{g}=\mathbb{R} e d) é V.

Resposta

(a) F
(b) F
(c) V
(d) V

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