Calcule a integral de:
\int\left(2 \cot ^{2} \theta-3 \tan ^{2} \theta\right) d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(2\cot^2\theta \;-\;3\tan^2\theta\bigr)\,d\theta.
Para isso, vamos usar as identidades trigonométricas e as antiderivadas básicas de \csc^2\theta e \operatorname{sec}^2\theta.

Passo 2

Aplicamos as identidades
\cot^2\theta = \csc^2\theta - 1, \quad \tan^2\theta = \operatorname{sec}^2\theta - 1.
Substituindo na integral, transformamos o integrando em termos de \csc^2\theta e \operatorname{sec}^2\theta.

Passo 3

Fazendo a substituição e simplificando:
2\cot^2\theta -3\tan^2\theta =2(\csc^2\theta -1)\;-\;3(\operatorname{sec}^2\theta -1) =2\csc^2\theta -2 -3\operatorname{sec}^2\theta +3 =2\csc^2\theta -3\operatorname{sec}^2\theta +1.
Assim a integral vira
\int\bigl(2\csc^2\theta -3\operatorname{sec}^2\theta +1\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos termo a termo, lembrando que
\frac{d}{d\theta}(\cot\theta) = -\csc^2\theta, \quad \frac{d}{d\theta}(\tan\theta) = \operatorname{sec}^2\theta.
Logo,
\int 2\csc^2\theta\,d\theta = -2\cot\theta, \quad \int -3\operatorname{sec}^2\theta\,d\theta = -3\tan\theta, \quad \int 1\,d\theta = \theta.
Somando e adicionando a constante C, obtemos a antiderivada completa.

Resposta

-2\cot\theta \;-\;3\tan\theta \;+\;\theta \;+\;C.

Exercícios relacionados