Calcule a integral de:
\int\left(3-2 t+t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int\bigl(3 - 2t + t^{2}\bigr)\,dt.
O conteúdo é integração de polinômio e vamos usar a linearidade da integral e a regra da potência, que diz que
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Pela linearidade, separamos em três integrais mais simples:
\int\bigl(3 - 2t + t^{2}\bigr)\,dt = \int 3\,dt \;-\; 2\int t\,dt \;+\; \int t^{2}\,dt.

Passo 3

Aplicando a regra da potência a cada termo:
\int 3\,dt = 3t,
\int t\,dt = \frac{t^{2}}{2},
\int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3}.
Multiplicando o segundo termo por -2 fica -2\cdot\frac{t^{2}}{2}=-t^{2}.

Passo 4

Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos
3t \;-\; t^{2} \;+\; \frac{t^{3}}{3} \;+\; C.

Resposta

3t - t^{2} + \frac{t^{3}}{3} + C

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