Calcule a integral:
integral0^2 F(x) d x, onde
F(x)= x, & 0 <= x<1 x-2, & 1 <= x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
integral0^2F(x),dx
onde
F(x)= x, & 0 <= x<1, x-2, & 1 <= x<=2
O conteúdo é integração de função por partes, dividindo em x=1, ponto de descontinuidade. Vamos usar que a antiderivada de x é x^2/2 e de x-2 é x^2/2-2x.

Passo 2

Pela aditividade da integral em intervalos disjuntos, escrevemos
integral0^2F(x),dx =integral0^1x,dx;+;integral1^2(x-2),dx

Passo 3

Calcular integral0^1x,dx. A antiderivada de x é tfracx^22, logo
integral0^1x,dx =l[tfracx^22r]0^1 =tfrac1^22-0 =tfrac12

Passo 4

Calcular integral1^2(x-2),dx. A antiderivada de x-2 é tfracx^22-2x, então
integral1^2(x-2),dx =l[tfracx^22-2xr]1^2 =l(tfrac42-4r)-l(tfrac12-2r) =(2-4)-l(-tfrac32r) =-2+tfrac32 =-tfrac12

Passo 5

Somando os resultados dos dois intervalos, temos
integral0^2F(x),dx =tfrac12+(-tfrac12) =0

Resposta

0

Exercícios relacionados