Calcule os limites caso existam
lim t 1 F cdot G com F(t)=sin (t-1)t-1 i+t+3t-2 j+cos pi t k, G(t)=(t^2+1) i-t-2t+3 j-raizt^2+1 k

Passo 1

O enunciado pede o limite
limtto1 vec F(t)cdotvec G(t)
onde
vec F(t)=sin(t-1)t-1,vec i+t+3t-2,vec j+cos(pi t),vec k,
vec G(t)=(t^2+1),vec i-t-2t+3,vec j-raizt^2+1,vec k
Vamos usar a definição de produto escalar em R^3, limites de funções racionais contínuas e o limite básico
limhto0sin hh=1.

Passo 2

Calcular o primeiro termo do produto escalar:
Fx(t),Gx(t) =sin(t-1)t-1,(t^2+1)
Como tto1 temos h=t-1to0 e t^2+1to1^2+1=2. Logo
limtto1sin(t-1)t-1,(t^2+1) =l(limhto0sin hhr)cdot2 =1cdot2 =2

Passo 3

Calcular o segundo termo do produto escalar:
Fy(t),Gy(t) =t+3t-2;l(-t-2t+3r) =-1,
para todo tneq2,-3. Em particular, ao aproximar t de 1 esse produto já vale -1, então
limtto1Fy(t),Gy(t)=-1

Passo 4

Calcular o terceiro termo do produto escalar:
Fz(t),Gz(t) =cos(pi t);l(-raizt^2+1r) =-cos(pi t),raizt^2+1
Para tto1 temos cos(pi t)tocospi=-1 e raizt^2+1toraiz2. Logo
limtto1Fz(t),Gz(t) =-(-1),raiz2 =+raiz2

Passo 5

Somando os três limites obtidos:
2 + (-1) + raiz2 = 1 + raiz2

Resposta

limtto1vec F(t)cdotvec G(t)=1+raiz2

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