Calcule a integral
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral dupla $ \int_{0}^{1} \int_{\arcsen y}^{\frac{\pi}{2}} (6 \sqrt{2} + 3) \cos x \sqrt{1 + \cos^2 x} , dx , dy $. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável $ y $ vai de 0 a 1, e para cada $ y $, $ x $ vai de $ \arcsen y $ até $ \frac{\pi}{2} $. Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $.
Passo 3
Para trocar a ordem, precisamos determinar os novos limites. Observando o intervalo de $ x $, ele vai de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sin x $. Assim, a integral fica:
Passo 4
Agora, vamos integrar em relação a $ y $, que é bem simples porque a expressão dentro da integral não depende de $ y $. A integral em $ y $ de 0 até $ \sin x $ é apenas $ \sin x $. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar $ (6 \sqrt{2} + 3) $ fora da integral:
Passo 6
Agora, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = \cos x $. Então, $ du = -\sin x , dx $ ou $ -du = \sin x , dx $. Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ x = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $. Substituindo, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral $ \int u \sqrt{1 + u^2} , du $. Fazendo outra substituição: seja $ v = 1 + u^2 $, então $ dv = 2u , du $ ou $ \frac{dv}{2} = u , du $. A integral fica:
Passo 8
Voltando à variável original $ u = \cos x $, temos:
Passo 9
Substituindo de volta na expressão com $ (6 \sqrt{2} + 3) $:
Passo 10
Multiplicando os termos:
Resposta
O valor da integral é 7.