Calcule a integral integral0^1 integralarcsen y^pi2(6 raiz2+3) cos x raiz1+cos ^2 x d x d y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente calcular a integral dupla $ \int_{0}^{1} \int_{\arcsen y}^{\frac{\pi}{2}} (6 \sqrt{2} + 3) \cos x \sqrt{1 + \cos^2 x} , dx , dy $. A matéria aqui é cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como trocar a ordem de integração e usar substituições para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A variável $ y $ vai de 0 a 1, e para cada $ y $, $ x $ vai de $ \arcsen y $ até $ \frac{\pi}{2} $. Para facilitar, vamos trocar a ordem de integração. Isso significa que vamos integrar primeiro em $ y $ e depois em $ x $.

Passo 3

Para trocar a ordem, precisamos determinar os novos limites. Observando o intervalo de $ x $, ele vai de $ 0 $ até $ \frac{\pi}{2} $. Para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sin x $. Assim, a integral fica:
x

Passo 4

Agora, vamos integrar em relação a $ y $, que é bem simples porque a expressão dentro da integral não depende de $ y $. A integral em $ y $ de 0 até $ \sin x $ é apenas $ \sin x $. Então, a integral fica:
y

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Podemos fatorar $ (6 \sqrt{2} + 3) $ fora da integral:
(6 raiz2 + 3)

Passo 6

Agora, vamos fazer uma substituição. Seja $ u = \cos x $. Então, $ du = -\sin x , dx $ ou $ -du = \sin x , dx $. Quando $ x = 0 $, $ u = 1 $; e quando $ x = \frac{\pi}{2} $, $ u = 0 $. Substituindo, a integral fica:
u = cos x

Passo 7

Vamos resolver a integral $ \int u \sqrt{1 + u^2} , du $. Fazendo outra substituição: seja $ v = 1 + u^2 $, então $ dv = 2u , du $ ou $ \frac{dv}{2} = u , du $. A integral fica:
integral u raiz1 + u^2 , du

Passo 8

Voltando à variável original $ u = \cos x $, temos:
u = cos x

Passo 9

Substituindo de volta na expressão com $ (6 \sqrt{2} + 3) $:
(6 raiz2 + 3)

Passo 10

Multiplicando os termos:
(2 raiz2 + 1)(2 raiz2 - 1) = (2 raiz2)^2 - 1^2 = 8 - 1 = 7

Resposta

O valor da integral é 7.

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