Prove que:
13+23^2+13^3+23^4+13^5+23^6+cdots=58

Passo 1

O enunciado pede para somar a série infinita
13 + 23^2 + 13^3 + 23^4 + cdots
O conteúdo principal é soma de séries geométricas. Vamos usar a fórmula
sumk=0^infty a,r^k = a1-r para |r|<1

Passo 2

Note que os termos aparecem em pares com alternância de coeficientes 1 e 2. Definindo
r = 13,
podemos reescrever a soma S como
S = sumk=1^inftyl(r^2k-1 + 2,r^2kr)

Passo 3

Separe S em duas séries geométricas:
sumk=1^infty r^2k-1 e sumk=1^infty r^2k
Como cada razão é r^2, vale
sumk=1^infty r^2k-1 = r1-r^2, sumk=1^infty r^2k = r^21-r^2

Passo 4

Combine as duas somas:
S = r1-r^2 ;+; 2cdotr^21-r^2 = r + 2r^21-r^2 = r,(1+2r)1-r^2

Passo 5

Bast a substituir r=tfrac13:
r(1+2r) = 13l(1 + 23r) = 59, 1-r^2 = 1 - 19 = 89,
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S = tfrac59tfrac89 = 58

Resposta

58

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