Sabendo que e , calcule a integral
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre a região $ D $, que é definida por $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq x $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que facilita bastante quando estamos lidando com regiões circulares. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula da integral dupla nesse novo sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região $ D $. A condição $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $ descreve uma região entre dois círculos concêntricos: um de raio 1 e outro de raio 2. A segunda condição $ 0 \leq y \leq x $ indica que estamos olhando somente para a parte onde $ y $ está entre 0 e $ x $, ou seja, no primeiro octante onde $ y $ é menor ou igual a $ x $.
Passo 3
Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é $ r , dr , d\theta $.
Passo 4
Vamos reescrever as condições da região $ D $ em coordenadas polares:
- $ 1 \leq r^{2} \leq 4 $ implica que $ 1 \leq r \leq 2 $.
- $ 0 \leq y \leq x $ se transforma em $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} $, porque $ y = x $ corresponde a $ \theta = \frac{\pi}{4} $.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral dada em coordenadas polares:
Simplificando o argumento da arctan:
Então a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a $ \theta $:
Resposta
O valor da integral é $ 3\pi^{2} $.