Sabendo que e , calcule a integral D=(x, y) in R^2 mid 1 <= x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que calcular uma integral dupla sobre a região $ D $, que é definida por $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $ e $ 0 \leq y \leq x $. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculo de integrais duplas e mudança para coordenadas polares, que facilita bastante quando estamos lidando com regiões circulares. Vamos precisar entender como transformar as coordenadas cartesianas para polares e aplicar a fórmula da integral dupla nesse novo sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região $ D $. A condição $ 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4 $ descreve uma região entre dois círculos concêntricos: um de raio 1 e outro de raio 2. A segunda condição $ 0 \leq y \leq x $ indica que estamos olhando somente para a parte onde $ y $ está entre 0 e $ x $, ou seja, no primeiro octante onde $ y $ é menor ou igual a $ x $.

Passo 3

Para facilitar o cálculo, vamos mudar para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área $ dA $ em coordenadas polares é $ r , dr , d\theta $.

Passo 4

Vamos reescrever as condições da região $ D $ em coordenadas polares:
  • $ 1 \leq r^{2} \leq 4 $ implica que $ 1 \leq r \leq 2 $.
  • $ 0 \leq y \leq x $ se transforma em $ 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4} $, porque $ y = x $ corresponde a $ \theta = \frac{\pi}{4} $.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral dada em coordenadas polares:
integral duplaD 64 arctan( yx ) dA = integral0^pi4 integral1^2 64 arctan( r sinthetar costheta ) r , dr , dtheta
Simplificando o argumento da arctan:
yx = r sinthetar costheta = tantheta implies arctan( tantheta ) = theta
Então a integral fica:
integral0^pi4 integral1^2 64 theta cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos resolver a integral interna em relação a $ r $:
r

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral externa em relação a $ \theta $:
theta

Resposta

O valor da integral é $ 3\pi^{2} $.

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