Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
y^prime prime-3 y^prime-4 y=2 sen(t)

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO) y'' - 3y' - 4y = 2 sin(t) . Esse tipo de problema faz parte do estudo de EDOs lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo 2 sin(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: y'' - 3y' - 4y = 0 . Para isso, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções da equação homogênea.

Passo 3

A equação característica é dada por r^2 - 3r - 4 = 0 . Resolveremos essa equação quadrática para encontrar os valores de r .

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática r^2 - 3r - 4 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
r = 3 pm raiz9 + 162 = 3 pm 52
Então, temos dois valores de r :
r1 = 3 + 52 = 4 e r2 = 3 - 52 = -1

Passo 5

Com os valores de r , a solução geral da equação homogênea é:
yh(t) = C1 e^4t + C2 e^-t
Onde C1 e C2 são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se fornecidas.

Passo 6

Agora, precisamos encontrar uma solução particular yp(t) para a equação completa y'' - 3y' - 4y = 2 sin(t) . Como o termo não homogêneo é uma função seno, vamos supor uma solução particular da forma:
yp(t) = A sin(t) + B cos(t)
Onde A e B são constantes que precisamos determinar.

Passo 7

Calculamos as derivadas de yp(t) :
yp'(t) = A cos(t) - B sin(t)
yp''(t) = -A sin(t) - B cos(t)

Passo 8

Substituímos yp(t) , yp'(t) e yp''(t) na equação original:
(-A sin(t) - B cos(t)) - 3(A cos(t) - B sin(t)) - 4(A sin(t) + B cos(t)) = 2 sin(t)

Passo 9

Distribuindo e agrupando os termos semelhantes:
(-A - 4A) sin(t) + (-B - 3A - 4B) cos(t) + (3B) sin(t) = 2 sin(t)
Simplificando:
(-5A + 3B) sin(t) + (-5B - 3A) cos(t) = 2 sin(t)

Passo 10

Igualando os coeficientes dos termos seno e cosseno dos dois lados da equação:
-5A + 3B = 2 (1)
-5B - 3A = 0 (2)

Passo 11

Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
-5B - 3A = 0 implies 3A = -5B implies A = -53B
Substituindo A na equação (1):
-5(-53B) + 3B = 2 implies 253B + 3B = 2
253B + 93B = 343B = 2 implies B = 2 times 334 = 634 = 317
Então,
A = -53 times 317 = -517

Passo 12

Agora, temos a solução particular:
yp(t) = -517 sin(t) + 317 cos(t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^4t + C2 e^-t - 517 sin(t) + 317 cos(t)
Onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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