Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial ordinária (EDO)
. Esse tipo de problema faz parte do estudo de EDOs lineares de segunda ordem com termos não homogêneos. Para resolver, vamos precisar encontrar duas partes da solução: a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, usamos a equação característica, que nos ajuda a encontrar as soluções da equação homogênea.
Passo 3
A equação característica é dada por
. Resolveremos essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos dois valores de
:
Passo 5
Com os valores de
, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas por condições iniciais, se fornecidas.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o termo não homogêneo é uma função seno, vamos supor uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 7
Calculamos as derivadas de
:
Passo 8
Substituímos
,
e
na equação original:
Passo 9
Distribuindo e agrupando os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 10
Igualando os coeficientes dos termos seno e cosseno dos dois lados da equação:
Passo 11
Resolvendo o sistema de equações:
Da equação (2):
Substituindo
na equação (1):
Então,
Passo 12
Agora, temos a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.