Considere as funções e . Encontre expressões para as derivadas de ordem dessas funções, no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as expressões para as derivadas de ordem das funções , e no ponto . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas e funções racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que derivadas de funções repetidamente aplicadas seguem alguns padrões. Para , sabemos que a derivada de é , a segunda derivada é , a terceira é , e a quarta volta a ser . Esse ciclo se repete a cada quatro derivadas.
Passo 3
Então, para encontrar a [n)-ésima derivada de em , precisamos ver onde está nesse ciclo de quatro:
Avaliar em (x = 0]:
Passo 4
Agora, vamos para [g(x) = \sin x). A derivada de é , a segunda é , a terceira é , e a quarta volta para . Assim, temos também um ciclo de quatro derivadas.
Avaliar em (x = 0]:
Passo 5
Agora, para h(x) = 11+x = (1+x)^-1 , podemos usar a regra da derivada para potências. Sabemos que: