Considere as funções f(x)=cos x, g(x)=sen x e h(x)=(1+x)^-1. Encontre expressões para as derivadas de ordem n dessas funções, no ponto x=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as expressões para as derivadas de ordem n das funções f(x) = cos x , g(x) = sin x e h(x) = 11+x no ponto x = 0 . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas e funções racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que derivadas de funções repetidamente aplicadas seguem alguns padrões. Para f(x) = cos x , sabemos que a derivada de cos x é -sin x , a segunda derivada é -cos x , a terceira é sin x , e a quarta volta a ser cos x . Esse ciclo se repete a cada quatro derivadas.

Passo 3

Então, para encontrar a [n)-ésima derivada de em , precisamos ver onde está nesse ciclo de quatro:
Avaliar em (x = 0]:

Passo 4

Agora, vamos para [g(x) = \sin x). A derivada de é , a segunda é , a terceira é , e a quarta volta para . Assim, temos também um ciclo de quatro derivadas.
Avaliar em (x = 0]:

Passo 5

Agora, para h(x) = 11+x = (1+x)^-1 , podemos usar a regra da derivada para potências. Sabemos que:
d^ndx^n(1+x)^-k = (-1)^n cdot k(k+1)(k+2)(k+n-1) cdot (1+x)^-k-n
No nosso caso, k = 1 :
h^(n)(x) = (-1)^n cdot n! cdot (1+x)^-1-n
Avaliar em x = 0 :
h^(n)(0) = (-1)^n cdot n! cdot 1^-1-n = (-1)^n cdot n!

Resposta

As expressões para as derivadas de ordem n no ponto x = 0 são:
f^(n)(0) = 1 & se n equiv 0 pmod4 0 & se n equiv 1 pmod4 -1 & se n equiv 2 pmod4 0 & se n equiv 3 pmod4
g^(n)(0) = 0 & se n equiv 0 pmod4 1 & se n equiv 1 pmod4 0 & se n equiv 2 pmod4 -1 & se n equiv 3 pmod4
h^(n)(0) = (-1)^n cdot n!

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